Question

已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁＝1，b₁＋b₂＋…＋b₁₀＝145.

(1) 求數(shù)列{b_n}的通項公式b_n；

(2) 設數(shù)列{a_n}的通項a_n＝log_a (其中a＞0且a≠1)．記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，試比較S_n與log_ab_n＋1的大小，并證明你的結論.

Answer 1

解：(1) 設數(shù)列{b_n}的公差為d，

由題意得

∴ b_n＝3n－2.

(2) 由b_n＝3n－2，知

而log_ab_n＋1＝log_a，于是，比較S_n與log_ab_n＋1的大小

比較的大小 .

① 當n＝1時，已驗證(^*)式成立；

② 假設n＝k(k≥1)時(^*)式成立，即

則當n＝k＋1時，

從而(1＋1) 即當n＝k＋1時，(^*)式成立．由①②知(^*)式對任意正整數(shù)n都成立．于是，當a＞1時，S_n＞log_ab_n＋1，當 0＜a＜1時，S_n＜log_ab_n＋1.