Question

已知f（x）=x-

a

x

（a＞0），g（x）=2lnx+bx，且直線y=2x-2與曲線y=g（x）相切．
（Ⅰ）若對(duì)[1，+∞）內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）（�。┊�(dāng)a=1時(shí)，求最大的正整數(shù)k，使得任意k個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，…x_k∈[e，3]（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立；
（ⅱ）求證：

1•4

4•12-1

+

2•4

4•22-1

+…+

n•4

4•n2-1

＞ln（2n+1）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，把切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別代入曲線和直線方程，由縱坐標(biāo)相等得一關(guān)系式，再由切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率得另一關(guān)系式，聯(lián)立后求得b的值，把b的值代入函數(shù)解析式，把不等式f（x）≥g（x）恒成立分離變量轉(zhuǎn)化為a≤x²-2xlnx恒成立，構(gòu)造輔助函數(shù)h（x）=x²-2xlnx，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值得答案．
（Ⅱ）（�。┮獙�(duì)[e，3]內(nèi)的任意k個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，…x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，由函數(shù)單調(diào)性可求得兩函數(shù)的最值；（ⅱ）a=1時(shí)，根據(jù)（Ⅰ）的推導(dǎo)知x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞g（x），即lnx＜

1

2

(x-

1

x

)．令x=

2k+1

2k-1

，得ln

2k+1

2k-1

＜

1

2

（

2k+1

2k-1

-

2k-1

2k+1

），整理得ln（2k+1）-ln（2k-1）＜

4k

4k2-1

，從而有l(wèi)n（2n+1）=ln（2n+1）-ln（2n-1）+ln（2n-3）+…+ln5-ln3+ln3-ln1＜

4•1

4•12-1

+

4•2

4•22-1

+…+

4n

4n2-1

，即得結(jié)論；

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)（x₀，y₀）為直線y=2x-2與曲線y=g（x）的切點(diǎn)，
則有2lnx₀+bx₀=2x₀-2      （*）
∵g′（x）=

2

x

+b，∴

2

x0

+b=2．   （**）
由（*）（**）兩式，解得b=0，g（x）=2lnx．
由f（x）≥g（x）整理，得

a

x

≤x-2lnx，
∵x≥1，∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必須a≤x²-2xlnx恒成立．
設(shè)h（x）=x²-2xlnx，h′（x）=2x-2（lnx+x•

1

x

）=2x-2lnx-2，
再設(shè)m（x）=2x-2lnx-2，∴當(dāng)x≥1時(shí)，m′（x）＞0，則h′（x）是增函數(shù)，
∴h′（x）≥h′（1）=0，h（x）是增函數(shù)，h（x）≥h（1）=1，
∴a≤1．
（2）（�。┊�(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-

1

x

，
∵f′（x）=1+

1

x2

＞0，∴f（x）在[e，3]上是增函數(shù)，f（x）在[e，3]上的最大值為f（3）=

8

3

．
要對(duì)[e，3]內(nèi)的任意k個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，…x_k都有f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_k-1）≤16g（x_k）成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，
∵當(dāng)x₁=x₂=…=x_k-1=3時(shí)不等式左邊取得最大值，x_k=e時(shí)不等式右邊取得最小值．
∴（k-1）×

8

3

≤16×2，解得k≤13．因此，k的最大值為13．
（ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，根據(jù)（Ⅰ）的推導(dǎo)有x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）＞g（x），即lnx＜

1

2

(x-

1

x

)．
令x=

2k+1

2k-1

，得ln

2k+1

2k-1

＜

1

2

（

2k+1

2k-1

-

2k-1

2k+1

），
化簡(jiǎn)得ln（2k+1）-ln（2k-1）＜

4k

4k2-1

，
ln（2n+1）=ln（2n+1）-ln（2n-1）+ln（2n-3）+…+ln5-ln3+ln3-ln1
＜

4•1

4•12-1

+

4•2

4•22-1

+…+

4n

4n2-1

，
即

1•4

4•12-1

+

2•4

4•22-1

+…+

n•4

4•n2-1

＞ln（2n+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及函數(shù)與不等式的綜合，考查了恒成立問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，訓(xùn)練了分離變量法和函數(shù)構(gòu)造法，運(yùn)用二次求導(dǎo)求函數(shù)的最值是解答該題的關(guān)鍵，是壓軸題．