Question

16．長(zhǎng)時(shí)間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的健康，如果學(xué)生平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)超過(guò)5小時(shí)，則稱為“過(guò)度用網(wǎng)”．某校為了解A，B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的情況，分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取6名同學(xué)作為樣本進(jìn)行調(diào)查，由樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到A，B兩班學(xué)生“過(guò)度用網(wǎng)”的概率分別為$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$．
（1）從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取2個(gè)數(shù)據(jù)，求恰有1個(gè)數(shù)據(jù)為“過(guò)度用網(wǎng)”的概率；
（2）從A班、B班的樣本中各隨機(jī)抽取2名學(xué)生的數(shù)據(jù)，記“過(guò)度用網(wǎng)”的學(xué)生人數(shù)為ξ，寫出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）確定為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)類型即可求解概率P=${C}_{2}^{1}$（$\frac{1}{3}$）×（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{9}$
（2）確定隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4．利用排列組合知識(shí)求解相應(yīng)的概率類型，得出分布列，可求數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）因?yàn)閺腁班的6個(gè)樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取1個(gè)的數(shù)據(jù)，為“過(guò)度用網(wǎng)”的概率是$\frac{1}{3}$，
所以從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回的抽取2個(gè)的數(shù)據(jù)，恰有1個(gè)數(shù)據(jù)為“過(guò)度用網(wǎng)”的概率為P=${C}_{2}^{1}$（$\frac{1}{3}$）×（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{9}$，
（2）P（ξ=0）=$\frac{{{C}_{4}^{2}C}_{3}^{2}}{{{C}_{6}^{2}C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{25}$，
P（ξ=1）=$\frac{{{{C}_{4}^{1}C}_{2}^{1}C}_{3}^{2}{{{+C}_{4}^{2}C}_{3}^{1}C}_{3}^{1}}{{{C}_{6}^{2}C}_{6}^{2}}$=$\frac{26}{75}$，
P（ξ=2）=$\frac{{{{C}_{2}^{2}C}_{3}^{1}C}_{3}^{1}{{{+C}_{4}^{1}C}_{2}^{1}C}_{3}^{2}}{{{C}_{6}^{2}C}_{6}^{2}}$=$\frac{31}{75}$，
P（ξ=3）=$\frac{{{{C}_{2}^{2}C}_{3}^{1}C}_{3}^{1}{{{+C}_{4}^{1}C}_{2}^{1}C}_{3}^{2}}{{{C}_{6}^{2}C}_{6}^{2}}$=$\frac{11}{75}$，
P（ξ=4）=$\frac{{{C}_{2}^{2}C}_{3}^{2}}{{{C}_{6}^{2}C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{75}$．
ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{2}{25}$	$\frac{26}{75}$	$\frac{31}{75}$	$\frac{11}{75}$	$\frac{1}{75}$

Eξ=0×$\frac{2}{25}$+1×$\frac{26}{75}$+2×$\frac{31}{75}$+3×$\frac{11}{75}$+4×$\frac{1}{75}$=$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考察了離散型的概率分布列，數(shù)學(xué)期望，考察了學(xué)生的實(shí)際問(wèn)題的分析能力，計(jì)算能力，屬于中檔題．