Question

1．已知f（x，y）=（x-y）²+（4+$\sqrt{1-{x^2}}$+$\sqrt{1-\frac{y^2}{9}}$）²，則f（x，y）的最大值為$28+6\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 f（x，y）表示兩點A（x，4+$\sqrt{1-{x}^{2}}$）和B（y，-$\sqrt{1-\frac{{y}^{2}}{9}}$）的距離的平方．則A在上半圓x²+（y-4）²=1運動，B在下半橢圓$\frac{{m}^{2}}{9}$+n²=1上運動，由對稱性可得只要求得圓心C（0，4）到橢圓上的點的距離最大值，運用兩點的距離公式和二次函數(shù)的最值，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，即可得到最大值．

解答 解：f（x，y）=（x-y）²+（4+$\sqrt{1-{x^2}}$+$\sqrt{1-\frac{y^2}{9}}$）²，
表示兩點A（x，4+$\sqrt{1-{x}^{2}}$）和B（y，-$\sqrt{1-\frac{{y}^{2}}{9}}$）的距離的平方．
由A在上半圓x²+（y-4）²=1運動，B在下半橢圓$\frac{{m}^{2}}{9}$+n²=1上運動，
由對稱性可得只要求得圓心C（0，4）到橢圓上的點的距離最大值．
設半橢圓上P（m，n）（-1≤n≤0），
即有|CP|=$\sqrt{{m}^{2}+（n-4）^{2}}$=$\sqrt{9-9{n}^{2}+（n-4）^{2}}$
=$\sqrt{-8（n+\frac{1}{2}）^{2}+27}$，當n=-$\frac{1}{2}$時，|CP|取得最大值3$\sqrt{3}$，
則有f（x，y）的最大值為（3$\sqrt{3}$+1）²=28+6$\sqrt{3}$．
故答案為：$28+6\sqrt{3}$．

點評 本題考查兩點的距離公式的運用，圓和橢圓的方程和性質(zhì)的運用，考查運算能力，運用對稱性和二次函數(shù)的最值是解題的關鍵．