Question

某學(xué)校為了豐富學(xué)生的業(yè)余生活，以班級為單位組織學(xué)生開展古詩詞背誦比賽，隨機(jī)抽取題目，背誦正確加10分，背誦錯誤減10分，只有“正確”和“錯誤”兩種結(jié)果，其中某班級的正確率為p=

2

3

，背誦錯誤的概率為q=

1

3

，現(xiàn)記“該班級完成n首背誦后總得分為S_n”．
（Ⅰ） 求S₆=20且S_i≥0（i=1，2，3）的概率；
（Ⅱ）記ξ=|S₅|，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）當(dāng)S₆=20時，即背誦6首后，正確個數(shù)為4首，錯誤2首，分類求概率求和；
（Ⅱ）∵ξ=|S₅|的取值為10，30，50，又p=

2

3

，q=

1

2

，從而分別求概率以列出分布列，再求數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)S₆=20時，即背誦6首后，正確個數(shù)為4首，錯誤2首，
若第一首和第二首背誦正確，則其余4首可任意背誦對2首；
若第一首正確，第二首背誦錯誤，第三首背誦正確，則其余3首可任意背誦對2首，
此時的概率為：p=(

2

3

)2×

C

2 4

×(

2

3

)2×(

1

3

)2+

2

3

×

1

3

×

2

3

×

C

2 3

×(

2

3

)2×

1

3

=

16

81

；
（Ⅱ）∵ξ=|S₅|的取值為10，30，50，
又p=

2

3

，q=

1

2

，
∴P(ξ=10)=

C

3 5

(

2

3

)3(

1

3

)2+

C

2 5

(

2

3

)2(

1

3

)3=

40

81

，
P(ξ=30)=

C

4 5

(

2

3

)4(

1

3

)1+

C

1 5

(

2

3

)1(

1

3

)4=

30

81

，
P(ξ=50)=

C

5 5

(

2

3

)5+

C

0 5

(

1

3

)5=

11

81

．
∴ξ的分布列為：

ξ	10	30	50
x2 2 +y2=1	40 81	30 81	11 81

∴Eξ=10×

40

81

+30×

30

81

+50×

11

81

=

1850

81

．

點(diǎn)評：本題考查了概率的求法及分布列的列法及數(shù)學(xué)期望的求法，屬于基礎(chǔ)題．