Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對一切正整數(shù)n，點(diǎn)P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=

1

2

x²+

1

2

x的圖象上，且過點(diǎn)P_n（n，S_n）的切線的斜率為k_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若b_n=

an

2kn- 1 2

，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由點(diǎn)P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=

1

2

x²+

1

2

x的圖象上，可解得S_n=

1

2

n²+

1

2

n（n∈N^*），再由通項(xiàng)與前n項(xiàng)和間的關(guān)系求得通項(xiàng)．
（2）用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線的斜率，再結(jié)合（1）求得b_n=

an

2kn- 1 2

=n•（

1

2

）ⁿ．符合等差數(shù)列與等比數(shù)列相應(yīng)項(xiàng)積的形式，用錯(cuò)位相減法求解．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)P_n（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=

1

2

x²+

1

2

x的圖象上，
∴S_n=

1

2

n²+

1

2

n（n∈N^*），
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1滿足上式，所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n；
（2）由f（x）=

1

2

x²+

1

2

x求導(dǎo)可得f′（x）=x+

1

2

∵過點(diǎn)P_n（n，S_n）的切線的斜率為k_n，
∴k_n=n+

1

2

．
∴b_n=

an

2kn- 1 2

=n•（

1

2

）ⁿ，
∴T_n=1×

1

2

+2×（

1

2

）²+…+n•（

1

2

）ⁿ①
由①×

1

2

，得

1

2

T_n=1×（

1

2

）²+2×（

1

2

）³+…+n•（

1

2

）ⁿ⁺¹②
①-②得：

1

2

T_n=

1

2

+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）ⁿ-n•（

1

2

）ⁿ⁺¹
∴T_n=2-

1

2n-1

-n•（

1

2

）ⁿ．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要涉及了數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和間的關(guān)系，錯(cuò)位相減法求和等問題，屬中檔題．