Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx+1
（Ⅰ）若x＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象恒在直線y=kx上方，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)n∈N^*，ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）原題等價(jià)于當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，xlnx+1＞kx恒成立，即k＜

xlnx+1

x

=lnx+

1

x

恒成立，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)g（x）＞g（1）=1的取值范圍．
（Ⅱ）法一（構(gòu)造函數(shù)法）：由（1）知當(dāng)x＞0，x≠1時(shí)，lnx＞1-

1

x

，令x=

n+1

n

，得ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

，由此能證明當(dāng)n∈N^*時(shí)，ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．
（Ⅱ）法二（數(shù)學(xué)歸納法）：當(dāng)n=1時(shí)，ln2＞

1

2

成立；假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，當(dāng)n=k+1時(shí)，利用分析法能證明：ln(k+1)+

1

k+2

＜ln(k+2)，由此能證明當(dāng)n∈N^*時(shí)，ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)（1，+∞）的圖象恒在直線x∈（1，+∞）上方，
等價(jià)于當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，xlnx+1＞kx恒成立，…（1分）
即k＜

xlnx+1

x

=lnx+

1

x

恒成立，…（2分）
令g(x)=lnx+

1

x

，x∈（0，+∞），則g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

…（3分）
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，故g(x)=lnx+

1

x

在（1，+∞）上遞增，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＜0，故g(x)=lnx+

1

x

在（0，1）上遞減，…（4分）
∴g（1）為g(x)=lnx+

1

x

在區(qū)間（0，+∞）上的極小值，僅有一個(gè)極值點(diǎn)故為最小值，
∴x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）≥g（1）=1…（5分）
所以實(shí)數(shù)g（x）＞g（1）=1的取值范圍是（-∞，1）…（6分）
（Ⅱ）證法一（構(gòu)造函數(shù)法）：
由（1）知當(dāng)x＞0，x≠1時(shí)，xlnx+1＞x，即lnx＞1-

1

x

…（8分）
令x=

n+1

n

，則ln

n+1

n

＞1-

n

n+1

，…（10分）
即得ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

…（11分）
∴ln2-ln1＞

1

2

，ln3-ln2＞

1

3

，…，ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

…（12分）
∴l(xiāng)n（n+1）=（ln（n+1）-lnn）+（lnn-ln（n-1））
+…+（ln2-ln1）+ln1＞

1

n+1

+

1

n

+…+

1

2

…（13分）
∴當(dāng)n∈N^*時(shí)，ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．…（14分）
（Ⅱ）證法二（數(shù)學(xué)歸納法）：
①當(dāng)n=1時(shí)，由2ln2=ln4＞1，知ln2＞

1

2

成立；       …（7分）
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

k+1

＜ln(k+1)
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

k+1

+

1

k+2

＜ln(k+1)+

1

k+2

…（8分）
下面利用分析法證明：ln(k+1)+

1

k+2

＜ln(k+2)…（9分）
要證上式成立，只需證：

1

k+2

＜ln(k+2)-ln(k+1)
只需證：1-

k+1

k+2

＜ln

k+2

k+1

…（10分）
令x=

k+2

k+1

，只需證：1-

1

x

＜lnx，（x＞1）…（11分）
只需證：x＜xlnx+1，（x＞1）
由（1）知當(dāng)x＞1時(shí)，xlnx+1＞x恒成立．…（12分）
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

k+1

+

1

k+2

＜ln（k+2）也成立，…（13分）
由①②可知，原不等式成立．
∴當(dāng)n∈N^*時(shí)，ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．