若α，β均為銳角，且
cosα
sinβ
+
cosβ
sinα
=2，求證：α+β=
π
2
．
考點：三角函數(shù)恒等式的證明
專題：推理和證明
分析：利用反證法，（1）若α+β＜
π
2
，可證得
cosα
sinβ
+
cosβ
sinα
＞2，與題設相矛盾，舍去；α+β＞
π
2
，同理可得
cosα
sinβ
+
cosβ
sinα
＜2，也與題設矛盾，舍去．從而可證命題成立．
解答： 證明（反證法）：
（1）α，β均為銳角，若α+β＜
π
2
，則α＜
π
2
-β，β＜
π
2
-α，
所以sinα＜cosβ，sinβ＜cosα，所以
cosα
sinβ
＞1，
cosβ
sinα
＞1，
因此
cosα
sinβ
+
cosβ
sinα
＞2，這與題設相矛盾，舍去；
（2）若α+β＞
π
2
，同理可得
cosα
sinβ
+
cosβ
sinα
＜2，也與題設矛盾，舍去．
綜上分析可知，α，β均為銳角，
cosα
sinβ
+
cosβ
sinα
=2時，α+β=
π
2
．
點評：本題考查三角函數(shù)恒等式的證明，利用反證法證明是關鍵，考查邏輯思維與推理證明能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=（
1
3
） x2-2x，g（x）=3x-6，求滿足f（x）≥g（x）的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有以下幾種說法：
①若兩條直線平行，則它們的斜率相等；
②若兩條直線的斜率之積為-1，則它們互相垂直；
③若直線l的傾斜角為θ，則該直線的斜率k=tanθ；
④直線l的方程為
2x
a2
+
y
b2
=-1（ab≠0），則該直線在y軸上的截距為-b2．
其中正確的說法的序號為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

點P為拋物線y2=16x上一點，則P到焦點與到定點（3，8）的距離的和的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知冪函數(shù)y=f（x）=x-2m2-m+3，其中m∈[-2，2]，m∈Z，滿足
（1）定區(qū)間（0，+∞）的增函數(shù)；
（2）對任意的x∈R，都有f（-x）+f（x）=0；
求同時滿足（1）（2）的冪函數(shù)f（x）的解析式，并求x∈[0，3]時f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

長軸與短軸的和為18，焦距為6的橢圓方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2．
（1）求異面直線BC1與B1D1所成的角；
（2）求三棱錐A1-AB1D1的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x，y滿足約束條件
x≥2
3x-y≥1
y≥x+1
，若目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值為2，則
3
a
+
2
b
的最小值為（　�。�
A、12B、6C、4D、2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某地一填的溫度（單位：℃）隨時間t（單位：小時）的變化近似滿足函數(shù)關系：f（t）=24-4sinωx-4
3
ωx，t∈[0，24），且早上8時的溫度為24℃，ω∈（0，
π
8
）
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式，并判斷這一天的最高溫度是多少？出現(xiàn)在何時？
（Ⅱ）當?shù)赜幸煌ㄏ鼱I業(yè)的超市，為了節(jié)省開支，規(guī)定在環(huán)境溫度超過28℃時，開啟中央空調降溫，否則關閉中央空調，問中央空調應在可使開啟？何時關閉？

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