Question

5．△ABC中，A（0，-2），B（0，2），且|CA|，|AB|，|CB|成等差數(shù)列，則C點(diǎn)的軌跡方程是$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1（x≠0）$．

Answer 1

分析 由|CB|，|AB|，|CA|成等差數(shù)列，可得|CB|+|CA|=2•|AB|=8，故C點(diǎn)軌跡為以A，B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，故可用定義法求軌跡方程．

解答 解：因?yàn)锳（0，-2），B（0，2），且|CA|，|AB|，|CB|成等差數(shù)列，
所以|CB|+|CA|=2•|AB|=8，且8＞|AB|，
由橢圓的定義可知點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓（去掉長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），
所以a=4，c=2，b=2$\sqrt{3}$．
故頂點(diǎn)C的軌跡方程為$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1（x≠0）$．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1（x≠0）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查定義法求軌跡方程，考查曲線與方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓．