Question

15．如圖，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AE}$，點(diǎn)F位線段DE上的動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$的取值范圍是[-$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{2}$]．（　�。�

Answer 1

分析 設(shè)$\overrightarrow{DF}=λ\overrightarrow{DE}$，運(yùn)用平面向量基本定理、向量的三角形法則，將向量$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$作為平面基底，用基底表示$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{CF}$，運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合向量的平方即為模的平方，將$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$表示為λ的函數(shù)求解．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{DF}=λ\overrightarrow{DE}=λ（\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）$=$\frac{1}{3}λ\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}=（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}λ）\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}λ\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=（-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}λ）\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}λ\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}=（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}λ）\overrightarrow{AB}+（\frac{1}{3}λ-1）\overrightarrow{AC}$；
則$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$=$（\frac{1}{4}{λ}^{2}-\frac{1}{4}）{\overrightarrow{AB}}^{2}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}{λ}^{2}+\frac{1}{2}λ）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$（\frac{1}{9}{λ}^{2}-\frac{1}{3}λ）{\overrightarrow{AC}}^{2}$=${λ}^{2}-\frac{3}{2}λ+\frac{1}{2}$，
當(dāng)λ=0時(shí)，f（λ）=${λ}^{2}-\frac{3}{2}λ+\frac{1}{2}$最大為$\frac{1}{2}$，當(dāng)$λ=\frac{3}{4}$時(shí)，f（λ）=${λ}^{2}-\frac{3}{2}λ+\frac{1}{2}$最小為-$\frac{1}{16}$；
則$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{CF}$的取值范圍是[-$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{2}$]，
故答案為：[-$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{2}$]，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的線性運(yùn)算，及數(shù)量積運(yùn)算，轉(zhuǎn)化思想是關(guān)鍵，屬于壓軸題．