Question

20．已知圓C的方程為x²+y²-2x+4y-m=0．
（I）若點P（m，-2）在圓C的外部，求m的取值范圍；
（II）當(dāng)m=4時，是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑所作的圓過原點？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）x²+y²-2x+4y-m=0，整理得：（x-1）²+（y+2）²=m+5，根據(jù)點P（m，-2）在該圓的外部，建立不等式，即可求m的取值范圍；
（Ⅱ）依題意假設(shè)直線l存在，其方程為x-y+p=0，N是弦AB的中點，利用|ON|=|AN|，從而得出結(jié)論．

解答 解：（I）∵x²+y²-2x+4y-m=0，
∴整理得：（x-1）²+（y+2）²=m+5．
由m+5＞0得：m＞-5．…（2分）
∵點P（m，-2）在該圓的外部，
∴（m-1）²+（-2+2）²＞m+5．
∴m²-3m-4＞0．
∴m＞4或m＜-1．
又∵m＞-5，
∴m的取值范圍是（-5，-1）∪（4，+∞）．…（4分）
（II）當(dāng)m=4時，圓C的方程為（x-1）²+（y+2）²=9．…（5分）
如圖：依題意假設(shè)直線l存在，其方程為x-y+p=0，N是弦AB的中點．…（6分）

∴CN的方程為y+2=-（x-1）．
聯(lián)立l的方程可解得N的坐標(biāo)為$（-\frac{p+1}{2}\;，\;\frac{p-1}{2}\;）$．…（7分）
∵原點O在以AB為直徑的圓上，
∴|ON|=|AN|．
∴$\sqrt{{{（-\frac{p+1}{2}-0）}^2}+{{（\frac{p-1}{2}-0）}^2}}=\sqrt{{3^2}-|CN{|^2}}=\sqrt{9-{{（\frac{|3+p|}{{\sqrt{2}}}）}^2}}$．
化簡得：p²+3p-4=0，解得：p=-4或1．…（11分）
∴l(xiāng)的方程為x-y-4=0或x-y+1=0．…（12分）

點評 本題主要考查求圓的切線方程，直線和圓的位置關(guān)系應(yīng)用，考查兩點間距離公式的運用，屬于中檔題．