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10.?dāng)?shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,已知a2+a3+a5=20,且a2、a4、a8成等比數(shù)列,記M=1S1+1S2+…+1Sn
(1)求M;
(2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,已知Tn=2(bn-1),試比較Tn與M+1的大�。�

分析 (1)設(shè)數(shù)列{an}是公差d不為零的等差數(shù)列,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì),可得首項(xiàng)與公差的方程,解方程可得首項(xiàng)和公差,進(jìn)而得到Sn,由1Sn=1n2+n=1nn+1=1n-1n+1,運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和,即可得到M;
(2)求出b1,再由當(dāng)n≥2時(shí),bn=Tn-Tn-1,化簡(jiǎn)可得數(shù)列{bn}為首項(xiàng)和公比均為2的數(shù)列,由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式,可得Tn,運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性和不等式的性質(zhì),即可得到結(jié)論.

解答 解:(1)設(shè)數(shù)列{an}是公差d不為零的等差數(shù)列,
a2+a3+a5=20,可得3a1+7d=20,①
a2、a4、a8成等比數(shù)列,可得a42=a2a8,
(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),②
由①②解得a1=d=2,
Sn=na1+12n(n-1)d=2n+n(n-1)=n2+n,
1Sn=1n2+n=1nn+1=1n-1n+1,
M=1S1+1S2+…+1Sn=1-12+12-13+…+1n-1n+1
=1-1n+1;
(2)Tn=2(bn-1),
當(dāng)n=1時(shí),b1=T1=2(b1-1),
解得b1=2,
當(dāng)n≥2時(shí),bn=Tn-Tn-1=2(bn-1)-2(bn-1-1),
可得bn=2bn-1
則數(shù)列{bn}為首項(xiàng)和公比均為2的數(shù)列,
即有Tn=212n12=2(2n-1),
由于Tn遞增,n=1時(shí),取得最小值2,
即Tn≥2,
又M+1=2-1n+1<2,
故Tn>M+1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用,考查數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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