Question

17．已知拋物線C的頂點在原點，焦點在y軸正半軸上，拋物線上的點P（m，4）到其焦點F的距離等于5．
（1）求拋物線C的方程；
（2）如圖，過拋物線焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，與圓M：（x-1）²+（y-4）²=4交于C，D兩點，且|AC|=|BD|，求三角形OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)拋物線方程為x²=2py（p＞0），利用P（m，4）到焦點的距離等于P到其準(zhǔn)線的距離，根據(jù)拋物線的定義，即可求拋物線C的方程；
（2）由于l過焦點F（0，1），所以直線l的方程為y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，求出|AB|，原點到直線AB的距離，即可求三角形OAB的面積．

解答 （1）解：由題意設(shè)拋物線方程為x²=2py（p＞0），其準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
∵P（m，4）到焦點的距離等于P到其準(zhǔn)線的距離，
∴4+$\frac{p}{2}$=5，∴p=2，
∴拋物線C的方程為x²=4y；
（2）顯然直線l的斜率存在，設(shè)其斜率為k，由于l過焦點F（0，1），所以直線l的方程為y=kx+1，
取CD的中點N，連接MN，則MN⊥CD，
由于|AC|=|BD|，所以N點也是線段AB的中點，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，y₀），則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，所以x₁+x₂=4k，
所以x₀=2k，y₀=2k²+1，即N（2k，2k²+1）
又因為k_MN=-$\frac{1}{k}$，即$\frac{（2{k}^{2}+1）-4}{2k-1}$=$-\frac{1}{k}$，
整理得2k³-k-1=0，即（k-1）（2k²+2k+1）=0，所以k=1
所以|AB|=y₁+y₂+2=（x₁+1）+（x₂+1）+2=8，
原點到直線AB的距離為d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以S_△OAB=$\frac{1}{2}•|AB|•d$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．