Question

在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，

AB

=4

MB

，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD．
（1）證明：面PAB⊥面ABCD；
（2）求直線DM與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明PM⊥面ABCD，且PM?面PAB，可得面PAB⊥面ABCD；
（2）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥CD，連結(jié)HP，連結(jié)DN，則∠MDN為直線DM與平面PCD所成角，即可求直線DM與平面PCD所成角的正弦值．

解答： （1）證明：由AB=2PB=4BM，得PM⊥AB，
又因?yàn)镻M⊥CD，且AB，CD相交，
所以PM⊥面ABCD，且PM?面PAB．
所以，面PAB⊥面ABCD．…（6分）
（2）解：過(guò)點(diǎn)M作MH⊥CD，連結(jié)HP，
因?yàn)镻M⊥CD，且PM∩MH=M，
所以CD⊥平面PMH，又由CD?平面PCD，得到平面PMH⊥平面PCD，
平面PMH⊥平面PCD=PH，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥PH，即有MN⊥平面PCD，
連結(jié)DN，則∠MDN為直線DM與平面PCD所成角． …（10分）
在四棱錐P-ABCD中，設(shè)AB=2t，
則DM=

13

2

t，PM=

3

2

t，MH=

7 5

10

t，∴PH=

4 5

5

t，MN=

7 3

16

t，
從而sin∠MDN=

MN

DM

=

7 39

104

，…（13分）
即直線DM與平面PCD所成角的正弦值為

7 39

104

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面、面面垂直，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．