Question

20．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為s_n，a₁=t，點(diǎn)（s_n，a_n+1）在直線(xiàn)y=3x+1上．當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列？

Answer 1

分析 通過(guò)將點(diǎn)（s_n，a_n+1）代入直線(xiàn)y=3x+1，整理并與a_n=3S_n-1+1（n≥2）作差，整理可知a_n+1=4a_n，進(jìn)而利用$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3t+1}{t}$=4，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵點(diǎn)（s_n，a_n+1）在直線(xiàn)y=3x+1上，
∴a_n+1=3S_n+1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=3S_n-1+1，
兩式相減得：a_n+1-a_n=3a_n，
整理得：a_n+1=4a_n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₂=3a₁+1=3t+1，
又∵數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3t+1}{t}$=4，即t=1，
∴當(dāng)t=1時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的判定，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．