Question

9．已知函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）．對定義域內(nèi)的任意x₁，x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當(dāng)x＞1時(shí)．f（x）＞0．
（1）求證f（x）是偶函數(shù)；
（2）求證f（x）在（0，+∞）上是遞增的；
（3）試比較f（-$\frac{5}{2}$）與f（$\frac{7}{4}$）的大�。�

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行證明即可；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行比較即可．

解答 解：（1）令x₁=x₂=1，
∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，
令x₁=-1，x₂=-1，
f（1）=2f（-1）=0，
∴f（-1）=0；
令x₁=-1
∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（x₁•x₂）=f（-x₂）=f（-1）+f（x₂）
又∵f（-1）=0
∴f（-x₂）=f（x₂）
故f（x）是偶函數(shù)；
（2）設(shè)x₁＜x₂，
∵f（x₁）＜f（x₂），∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，則f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
又f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₂），
則f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)．
（3）∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-$\frac{5}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$），
∵f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，
∴f（$\frac{5}{2}$）＞f（$\frac{7}{4}$），
即f（-$\frac{5}{2}$）＞f（$\frac{7}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷與證明，訓(xùn)練了特值法求函數(shù)的值，考查了學(xué)生靈活處理問題和解決問題的能力，屬中檔題．