Question

設各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n滿足S_n²-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0，n∈N^*①
（1）求a₁的值；
（2）對①進行因式分解并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）證明：對一切正整數(shù)n，有

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

3

②

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：（1）直接在數(shù)列遞推式中取n=1求得a₁的值；
（2）由數(shù)列遞推式因式分解求得S_n，然后由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）把{a_n}的通項公式代入

1

an(an+1)

，整理后列項，利用裂項相消法求和后放縮證明數(shù)列不等式．

解答： （1）解：在S_n²-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0中，
取n=1，得a12+a1-6=0，
解得：a₁=2或a₁=-3．
∵數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，
∴a₁=2；
（2）解：由S_n²-（n²+n-3）S_n-3（n²+n）=0，得
(Sn+3)(Sn-n2-n)=0，
即Sn=n2+n．
當n=1時，a₁=2．
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n．
驗證n=1時上式成立，
∴a_n=2n；
（3）證明：由于

1

an(an+1)

=

1

2n(2n+1)

＜

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
故

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

6

+

1

2

(

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

+

1

2n+1

)＜

1

6

+

1

6

=

1

3

，
即

1

a1(a1+1)

+

1

a2(a2+1)

+…+

1

an(an+1)

＜

1

3

．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了由數(shù)列的和求數(shù)列的通項公式，訓練了裂項相消法求數(shù)列的和，考查了放縮法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．