Question

已知雙曲線（b＞a＞0），0為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，點(diǎn)M（，）在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且=0，求：|OP|²+|OQ|²的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求雙曲線的方程，只需找到含a，b，c的方程，因?yàn)殡p曲線的離心率e=2，且點(diǎn)M（，）在雙曲線上，所以可以得到兩個(gè)關(guān)于a，b，c的方程，再根據(jù)c²=a²+b²，就可解出a，b，c，求出雙曲線的方程．
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101231332814142300/SYS201311012313328141423019_DA/2.png">=0，所以，設(shè)直線OP的方程為y=kx，則直線OP的方程為y=-x，分別代入雙曲線方程，即可得P，Q的坐標(biāo)用含k的式子表示，再代入|OP|²+|OQ|²，化簡，利用均值不等式求最值即可．
解答：解：（1）∵離心率e=2∴=2
∵點(diǎn)M（，）在雙曲線上，∴
又∵c²=a²+b²
∴雙曲線的方程為
（2）設(shè)P、Q的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
直線OQ的方程為y=kx，∵=0∴OP⊥OQ，∴直線OP的方程為y=-x
化簡得x₁²=，y₁²=，x₂²=，y₂²=
∴x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=
=+=
設(shè)1+k2=t，則t≥1，
∴|OP|²+|OQ|²==≥=24
當(dāng)且僅當(dāng)t=2，即k=±1時(shí)，等號成立．
∴|OP|²+|OQ|²的最小值為24．
點(diǎn)評：本題考查了雙曲線方程的求法，以及雙曲線與不等式相結(jié)合求最值，做題時(shí)要認(rèn)真分析，找到兩者的聯(lián)系．