Question

【題目】設(shè)、、為集合的任意三個元子集，且，.問：是否存在，，，使得其中某兩個數(shù)的和等于第三個數(shù)？

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

用反證法證明：存在，，，使其中某兩個數(shù)的和等于第三個數(shù).

假設(shè)存在某種分拆，，，

使得、、三個元集中不存在這樣的三個元素.

記，，，

其中，，，.

設(shè)，則，，而.

考慮集合，記.

則為正整數(shù).

（1）若，則，矛盾.

（2）若，考慮個數(shù).

對每個，顯然.

又若存在某個，則與，，，矛盾.

于是，所有的，而，

此時，集合中至少有個元素，也得矛盾.

（3）若，在數(shù)列中，自左至右設(shè)最先取到的項為.

考慮數(shù)與，其顯然均在 集合中.

由于，而、分 別為集合、的元素，故由假設(shè)知.

又據(jù)，知，而，由假設(shè)知.

因此，只有.

再由，得；由，得.

因此，只有.

由于集合中的兩個元素與的差為，

故它們?yōu)榧��?/span>中相鄰的兩個元素，并且它們分別小于及.

因此，在集合中應(yīng)當(dāng)排在先前的一對 元素、之前，

這與、為集合中 最先使得其差為的項的假設(shè)矛盾.

于是，結(jié)論得證.