Question

已知點M是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為C的左右焦點，|F₁F₂|=2，∠F₁MF₂=60°，△F₁MF₂的面積為

3

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過橢圓右焦點F₂的直線l和橢圓交于兩點A，B，且

AF2

=2

F2B

，求直線l的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用△F₁MF₂的面積為

3

，求出|MF₁|•|MF₂|=4，再利用余弦定理，求出a，即可求出b，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程是x=my+1，由

x2 4 + y2 3 =1 x=my+1

消x并整理，利用韋達定理，結(jié)合

AF

=2

FB

，求出m，即可求直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由條件得

3

=

1

2

|MF₁|•|MF₂|•sin60°，所以|MF₁|•|MF₂|=4-----（2分）
在△MF₁F₂中，由余弦定理得：|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁||MF₂|•cos60°
所以4=（|MF₁|+MF₂||）²-3|MF₁|•|MF₂|，------------------------------（4分）
即4a²=16，a²=4，b²=a²-c²=3
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1------------------（6分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程是x=my+1
由

x2 4 + y2 3 =1 x=my+1

消x并整理得（4+3m²）y²+6my-9=0------------------（8分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

6m

4+3m2

 ①，y₁y₂=

-9

4+3m2

②-------（10分）
因為

AF

=2

FB

  得y₁=-2y₂③，由①②③解得m²=

4

5

，
因此存在直線l：x=±

2 5

5

x+1使得

AF

=2

FB

--------------------（12分）

點評：本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．