Question

4．設(shè)當(dāng)x=θ時(shí)，函數(shù)f（x）=2sinx-cosx取得最大值，則sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 利用輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據(jù)當(dāng)x=θ時(shí)f（x）取得最大值，建立關(guān)系．利用和與差公式或者誘導(dǎo)公式即可得解．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sinx-cosx
化簡可得：$f（x）=\sqrt{5}（{sinx•\frac{2}{{\sqrt{5}}}-cosx•\frac{1}{{\sqrt{5}}}}）=\sqrt{5}sin（{x-{θ_0}}）$，
（其中$cos{θ_0}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}，sin{θ_0}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}，{θ_0}$是銳角），
由題意：sin（x-θ₀）=1．
法一：sinθ=sin[（θ-θ₀）+θ₀]=sin（θ-θ₀）cosθ₀+cos（θ-θ₀）sinθ₀=$1×\frac{2}{{\sqrt{5}}}+0×\frac{1}{{\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
法二：∵sin（x-θ₀）=1．
∴$θ-{θ_0}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，$sinθ=sin（{{θ_0}+\frac{π}{2}+2kπ}）=cos{θ_0}$=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．