Question

16．在$△ABC中，∠A=\frac{π}{3}，且（{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}）•\overrightarrow{BC}=0$，點(diǎn)M是△ABC外一點(diǎn)，BM=2CM=2，則AM的最大值與最小值的差為2．

Answer 1

分析 取邊BC的中點(diǎn)為O，把（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=0，得出$\overrightarrow{AO}$⊥$\overrightarrow{BC}$，△ABC為等邊三角形，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC邊所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示得出AM的解析式，求出它的最大值與最小值即可．

解答 解：取邊BC的中點(diǎn)為O，則$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
又（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴$\overrightarrow{AO}$⊥$\overrightarrow{BC}$，∴△ABC為等腰三角形，
又∠A=$\frac{π}{3}$，∴△ABC為等邊三角形，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC邊所在的直線為x軸，
建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示；

并設(shè)BC=2a（$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$），點(diǎn)M（x，y）；
則A（0，$\sqrt{3}$a），B（-a，0），C（a，0），
又BM=2CM=2，
所以（x+a）²+y²=4
（x-a）²+y²=1，
所以解方程組$\left\{\begin{array}{l}{{（x+a）}^{2}{+y}^{2}=4}\\{{（x-a）}^{2}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4a}}\\{y=\sqrt{1{-（\frac{3}{4a}-a）}^{2}}}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4a}}\\{y=-\sqrt{1{-（\frac{3}{4a}-a）}^{2}}}\end{array}\right.$，
所以當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4a}}\\{y=\sqrt{1{-（\frac{3}{4a}-a）}^{2}}}\end{array}\right.$時(shí)$AM=\sqrt{{{（\frac{3}{4a}）}^2}+{{[\sqrt{3}a-\sqrt{1-{{（\frac{3}{4a}-a）}^2}}]}^2}}$
=$\sqrt{{（\frac{3}{4a}）}^{2}+{3a}^{2}+1{-（\frac{3}{4a}-a）}^{2}-2\sqrt{3}×\sqrt{{a}^{2}{-（\frac{3}{4}{-a}^{2}）}^{2}}}$
=$\sqrt{{2a}^{2}+\frac{5}{2}-2\sqrt{3}×\sqrt{{-a}^{4}+{\frac{5}{2}a}^{2}-\frac{9}{16}}}$
=$\sqrt{{2a}^{2}+\frac{5}{2}-2\sqrt{3}×\sqrt{1{-{（a}^{2}-\frac{5}{4}）}^{2}}}$，
令a²-$\frac{5}{4}$=cosθ，
則AM=$\sqrt{5+2cosθ-2\sqrt{3}sinθ}$=$\sqrt{5-4sin（θ-\frac{π}{6}）}$，
所以當(dāng)θ=$\frac{2π}{3}$ 時(shí)（AM）_min=1，
同理當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4a}}\\{y=-\sqrt{1{-（\frac{3}{4a}-a）}^{2}}}\end{array}\right.$時(shí)，
AM=$\sqrt{{2a}^{2}+\frac{5}{2}+2\sqrt{3}×\sqrt{1{-{（a}^{2}-\frac{5}{4}）}^{2}}}$=$\sqrt{5+2cosθ+2\sqrt{3}sinθ}$=$\sqrt{5+4sin（θ+\frac{π}{6}）}$，
所以當(dāng)θ=$\frac{π}{3}$時(shí)（AM）_max=3；
綜上可知：AM的取值范圍是[1，3]，
AM的最大值與最小值的差是2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合與邏輯推理以及計(jì)算能力的應(yīng)用問題，是難題．