Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形，DC=4，O為BD的中點，E為PA的一動點．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求直線CB與平面PDC所成角的正弦值；
（3）當$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PA}$時，二面角E-BD-A的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)F為DC的中點，連接BF，則DF=AB，從而四邊形ABFD為正方形，推導出PO⊥AO，由此能證明PO⊥平面ABCD．
（2）過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以O(shè)P為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線CB與平面PDC所成角的正弦值．
（3）求出平面EBD的法向量和平面ABD的法向量，由二面角E-BD-A的余弦值為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，利用向量法能求出實數(shù)λ的值．

解答 （本小題共12分）
證明：（1）設(shè)F為DC的中點，連接BF，則DF=AB，
∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，
∴四邊形ABFD為正方形，
∵O為BD的中點，∴O為AF，BD的交點，
∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，…..（2分）
∵$BD=\sqrt{A{D^2}+A{B^2}}$=$2\sqrt{2}$，
∴$PO=\sqrt{P{B^2}-B{O^2}}$=$\sqrt{2}$，$AO=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$，
在三角形PAO中，PO²+AO²=PA²=4，∴PO⊥AO，…（3分）
∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．…（4分）
解：（2）由（1）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，
∴過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以O(shè)P為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，（5分）
由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），D（1，-1，0）F（1，1，0），
C（1，3，0），$P（0，0，\sqrt{2}）$，$E（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
設(shè)平面PDC的法向量為$\vec n=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，直線CB與平面PDC所成角θ，
則$\left\{\begin{array}{l}\vec n\overrightarrow{•PC}=0\\ \vec n\overrightarrow{•PD}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+3{y_1}-\sqrt{2}{z_1}=0\\{x_1}-{y_1}-\sqrt{2}{z_1}=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{y_1}=0\\{x_1}=\sqrt{2}{z_1}\end{array}\right.$，令z₁=1，則平面PDC的一個法向量為$\vec n=（\sqrt{2}，0，1）$，（7分）
又$\overrightarrow{CB}=（-2，-2，0）$令直線CB與平面PDC所成角為θ
則$sinθ=|{cos＜\vec n，\overrightarrow{CB}＞}|=\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}×2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴直線CB與平面PDC所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（8分）
（3）$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PA}$=$（-1，-1，-\sqrt{2}）$$E（-λ，-λ，\sqrt{2}-\sqrt{2}λ）$…（9分）
設(shè)平面EBD的法向量為$\overrightarrow m=（x，y，z）$，直線CB與平面PDC所成角θ，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{BD}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{ED}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\（1+λ）x+（λ-1）y+（\sqrt{2}λ-\sqrt{2}）z=0\end{array}\right.$
令x=1，y=1，$z=\frac{{\sqrt{2}λ}}{λ-1}$∴$\overrightarrow m=（1，1，\frac{{\sqrt{2}λ}}{λ-1}）$（11分）
設(shè)平面ABD的法向量為$\overrightarrow p=（x，y，z）$$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow p＞=\frac{{|{\overrightarrow m，\overrightarrow p}|}}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow p}|}}=\frac{{|{\frac{{\sqrt{2}λ}}{λ-1}}|}}{{\sqrt{2+{{（\frac{{\sqrt{2}λ}}{λ-1}）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
解得$λ=\frac{1}{3}$．…（13分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．