Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，

1

2an+1

=

1

2an

+1(n∈N*)．
（1）求證{

1

an

}是等差數(shù)列；（要指出首項(xiàng)與公差）；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求T_n的值．

Answer 1

分析：（1）將已知等式變形整理，得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，結(jié)合a₁=1可得{

1

an

}是首項(xiàng)為1，公差等于

1

2

的等差數(shù)列；
（2）由（1）的結(jié)論利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，算出

1

an

=

1

2

（n+1），可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）根據(jù){a_n}的通項(xiàng)公式，結(jié)合分式的運(yùn)算裂項(xiàng)可得：a_na_n+1=4（

1

n+1

-

1

n+2

）．由此代入T_n的表達(dá)式進(jìn)行加減消元，化簡(jiǎn)即可得到T_n的值．

解答：解：（1）∵

1

2an+1

=

1

2an

+1，∴

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
又∵a₁=1，得

1

a1

=1，
∴{

1

an

}是首項(xiàng)為1，公差等于

1

2

的等差數(shù)列；
（2）由（1）得

1

an

=

1

a1

+（n-1）d=1+

1

2

（n-1）=

1

2

（n+1），
∴a_n=

2

n+1

，即為數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）∵a_n=

2

n+1

，
∴a_na_n+1=

2

n+1

•

2

n+2

=4（

1

n+1

-

1

n+2

），
∴T_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=4（

1

2

-

1

3

）+4（

1

3

-

1

4

）+…+4（

1

n+1

-

1

n+2

）
=4（

1

2

-

1

n+2

）=2-

4

n+2

=

2n

n+2

．
即T_n的值為

2n

n+2

．

點(diǎn)評(píng)：本題求數(shù)列的通項(xiàng)公式并求與之有關(guān)的數(shù)列前n項(xiàng)之和．著重考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和采用裂項(xiàng)法求數(shù)列的前n項(xiàng)之和等知識(shí)，屬于中檔題．