Question

如圖1，直角梯形中，，，，點為線段上異于的點，且，沿將面折起，使平面平面，如圖2.

（1）求證：平面；

（2）當三棱錐體積最大時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題考查立體幾何中的線面、面面關系，空間角，空間向量在立體幾何中的應用等基礎知識；考查運算求解能力、空間想象能力；考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化等數(shù)學思想．第一問，法一，由，利用線面平行的判定得面，再利用面面平行的判定得面面，最后利用面面平行的性質得面；法二，建立空間直角坐標系，要證明線面平行，只需證AB與面DFC的法向量垂直即可；第二問，建立空間直角坐標系，利用三棱錐的體積公式計算體積，當體積最大值時，AE=1，再利用向量法求平面ABC和平面AEFD的法向量，利用夾角公式求二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明：∵，面，面，

∴面，　　　　　　　　　　 2分

同理面， 3分

又，∴面面， 4分

又面，∴面. 5分

（2）法一：∵面面，又，面面，

∴面.

以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立

空間直角坐標系， 　 7分

設，則，

，

∴當時，三棱錐體積最大. 9分

∵， ∴， 10分

設平面的法向量， ，　∴，

令，得平面的一個法向量， 11分

又面的一個法向量為，

∴， 12分　

∴平面與平面所成銳二面角的余弦是 . 13分

法二：∵面面，又，面面，

∴面

以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直

角坐標系． 2分

設，則.

（1）， 3分

面的一個法向量為， 4分

，∴，又面，

∴面. 7分

（2）同法一．

考點：立體幾何中的線面、面面關系，空間角，空間向量在立體幾何中的應用.