Question

【題目】設(shè)函數(shù)， 為正實(shí)數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求證： ；

（3）若函數(shù)有且只有個(gè)零點(diǎn)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析（3）．

【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，所以先求導(dǎo)數(shù)，代入即得，又，由點(diǎn)斜式得切線方程（2）由于，所以轉(zhuǎn)化為證明恒成立，即，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值（3）因?yàn)?/span>，而先增后減，且，所以必為最大值（極大值），解得，最后證明當(dāng)1不為極值點(diǎn)時(shí)， 的零點(diǎn)不唯一．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，則，……………2分

所以，又，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．…………4分

（2）因?yàn)?/span>，設(shè)函數(shù)，

則， …………………………………………………6分

令，得，列表如下：

		極大值

所以的極大值為．

所以．………………………………………………8分

（3）， ，

令，得，因?yàn)?/span>，

所以在上單調(diào)增，在上單調(diào)減．

所以．………………………………………………10分

設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，而，

所以是函數(shù)的唯一零點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)， ， 有且只有個(gè)零點(diǎn)，

此時(shí)，解得．…………………………………………12分

下證，當(dāng)時(shí)， 的零點(diǎn)不唯一．

若，則，此時(shí)，即，則．

由（2）知， ，又函數(shù)在以和為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的圖象不間斷，

所以在和之間存在的零點(diǎn)，則共有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

若，則，此時(shí)，即，則．

同理可得，在和之間存在的零點(diǎn)，則共有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．

因此，所以的值為．…………………………………………………16分