Question

已知直線與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P，若直線的斜率為k₁，直線OP的斜率為k₂，則k₁k₂等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用“平方差法”、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計算公式即可得出．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．則

x1+x2

2

=x₀，

y1+y2

2

=y₀，

y2-y1

x2-x1

=k₁，k₂=

y0

x0

．
∴

x12

9

+

y12

4

=1，

x22

9

+

y22

4

=1．兩式作差并化簡得
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）+

9

4

（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．
∴2x₀+

9

4

×2y₀•k₁=0，
∴

9

4

+k₁k₂=0，
∴k₁k₂=--

4

9

．
故答案為：-

4

9

點(diǎn)評：本題考查了“平方差法”、設(shè)而不求，以及線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計算公式的應(yīng)用，屬于中檔題．