Question

已知曲線C：

x2

a 2 n

-y²=1（a_n＞0，n∈N^*）的一個焦點為F（

n2+1

，0）．
（1）求a_n，
（2）令b_n=

1

anan+1

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì),數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于曲線C：

x2

a 2 n

-y²=1（a_n＞0，n∈N^*）的一個焦點為F（

n2+1

，0）．可得

a

2 n

+1=n²+1，解出即可．
（2）由于b_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵曲線C：

x2

a 2 n

-y²=1（a_n＞0，n∈N^*）的一個焦點為F（

n2+1

，0）．
∴

a

2 n

+1=n²+1，
∴a_n=n．
（2）∵b_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查了雙曲線的性質(zhì)、“裂項求和”的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．