Question

對(duì)定義在上，并且同時(shí)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件的函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)。
①對(duì)任意的，總有；
②當(dāng)時(shí)，總有成立。
已知函數(shù)與是定義在上的函數(shù)。
（1）試問(wèn)函數(shù)是否為函數(shù)？并說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)是函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
（3）在（2）的條件下，討論方程解的個(gè)數(shù)情況。

Answer 1

(1)函數(shù)是函數(shù),(2) (3)

解析試題分析：
（1）根據(jù)函數(shù)的定義，驗(yàn)證函數(shù)的兩個(gè)條件，即可判斷；
（2）根據(jù)因?yàn)楹瘮?shù)是函數(shù)，利用函數(shù)的兩個(gè)條件，即可求得實(shí)數(shù)的值；
（3）根據(jù)（2）知，原方程可以化為，再利用換元法，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍．
對(duì)考查新定義的題要與熟悉的已知函數(shù)性質(zhì)比較,參考其性質(zhì)及運(yùn)算特征進(jìn)行計(jì)算，對(duì)新定義熟悉性質(zhì)后求參數(shù)的取值，把方程解的情況轉(zhuǎn)化成求值域，利用換元法、配方法求函數(shù)的值域；解題的關(guān)鍵是正確理解新定義．
試題解析：
（1）當(dāng)時(shí)，總有滿(mǎn)足①
當(dāng)時(shí)
滿(mǎn)足②
所以函數(shù)是函數(shù).
（2）
Ⅰ當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足①，所以不是是函數(shù)
Ⅱ當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù),則,滿(mǎn)足①
由,得
即
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e1/3/13egy2.png" style="vertical-align:middle;" />
所以，與不同時(shí)等于1
所以
所以
當(dāng)時(shí), 即于是
綜上所述:
(3) 根據(jù)（2）知，原方程可以化為
由得
令,則在單調(diào)遞增且值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a2/b/1xltc3.png" style="vertical-align:middle;" />
所以，當(dāng)時(shí)，方程有一解
當(dāng)時(shí)方程無(wú)解
考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題．