Question

在拋物線y²=-4x上求一點P，使其到焦點F的距離與到A（-2，1）的距離之和最小，則該點的坐標是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線方程求得拋物線的焦點為F（-1，0）、準線為x=1．設(shè)點P在準線上的射影為Q，根據(jù)拋物線的定義得|PQ|+|PA|=|PF|+|PA|，利用平面幾何知識得當A、P、Q三點共線時，這個距離之和達到最小值，此時P點的縱坐標為1，利用拋物線方程求出P的橫坐標，從而可得答案．

解答：解：由拋物線方程為y²=-4x，可得2p=4，

p

2

=1，
∴焦點坐標為F（-1，0），準線方程為x=1．
設(shè)點P在準線上的射影為Q，連結(jié)PQ，
則根據(jù)拋物線的定義得|PF|=|PQ|，
由平面幾何知識，可知當A、P、Q三點共線時，
|PQ|+|PA|達到最小值，此時|PF|+|PA|也達到最小值．
∴|PF|+|PA|最小蝗，點P的縱坐標為1，
將P（x，1）代入拋物線方程，得1²=-4x，解得x=-

1

4

，
∴使P到A、F距離之和最小的點P坐標為（-

1

4

，1）．
故答案為：（-

1

4

，1）

點評：本題主要考查了拋物線的定義，充分利用了拋物線上的點到準線的距離與點到焦點的距離相等這一特性，運用了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思，本題屬于基礎(chǔ)題．