已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，過點K（0，-1）的直線l與C相交于A，B兩點，點A關于y軸的對稱點為D．
（Ⅰ）證明：點F在直線BD上；
（Ⅱ）設
FA
•
FB
=
8
9
，求∠DBK的平分線與y軸的交點坐標．
考點：平面向量數(shù)量積的運算,直線的一般式方程
專題：平面向量及應用
分析：本題（1）由拋物線方程得到焦點F的坐標，再設直線l的斜率為k，由方程組得到點A、B的坐標關系，通過點A、D對稱關系得到直線BD的方程，結合焦點坐標，得到出結論；（2）將向量條件
FA
•
FB
=
8
9
坐標化，得到直線l的斜率，從而求出BD的方程，再利用點在y軸上，到直線l及BD的距離兩個條件，得到本題結論．
解答： （Ⅰ）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），D（-x1，y1），直線l的方程為y=kx-1，
由
y=kx-1
x2=4y
得x2-4kx+4=0，
從而x1+x2=4k，x1x2=4． 
直線BD的方程為y-y1=
y2-y1
x2+x1
(x+x1)，
即y-
x12
4
=
x2-x1
4
(x+x1)，
令x=0，得y=
x1x2
4
=1，
所以點F在直線BD上．
（Ⅱ）解：因為
FA
•
FB
=(x1，y1-1)•(x2，y2-1)
=x1x2+（y1-1）（y2-1）
=8-4k2，
 故8-4k2=
8
9
，解得k=±
4
3
，
所以直線l的方程為4x-3y-3=0，4x+3y+3=0．
又由（Ⅰ）得x2-x1=±
16k2-16
=±
4
3
7
，
故直線BD的斜率為
x2-x1
4
=±
7
3
，
因而直線BD的方程為
7
x-3y+3=0，
7
x+3y-3=0．
設∠DBK的平分線與y軸的交點為M（0，t），
則點M到直線l及BD的距離分別為
3|t+1|
5
，
3|t-1|
4
，
由為
3|t+1|
5
=
3|t-1|
4
，得t=
1
9
，或t=9（舍去），
所以∠DBK的平分線與y軸的交點為M(0，
1
9
)．
點評：本題重點考查了函數(shù)方程思想，充分利用相應的方程解題，另外，結合角平分線上點的到角兩邊距離相等這一幾何特征，得到本題結論．本題有一定的思維難度，計算量較大，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

邊長為4的菱形ABCD中，∠A=60°，E為線段CD上的中點，以BE為折痕，將△ACE折起，使得二面角C-BE-C成θ角（如圖）
（Ⅰ）當θ在（0，π）內變化時，直線AD與平面BCE是否會平行？請說明理由；
（Ⅱ）若θ=90°，求直線CA與平面BCE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+（m-1）x+1．
（Ⅰ）若方程f（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若關于x的不等式f（x）＜0的解集為（x1，x2），且0＜|x1-x2|＜2
3
，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

甲乙兩位同學參加數(shù)學競賽培訓．現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：
甲 82  81  79  78  95  88  93  84
乙 92  95  80  75  83  80  90  85
（1）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；
（2）現(xiàn)要選派一人參加數(shù)學競賽，從統(tǒng)計學的角度考慮，你認為選派哪位學生參加合適？
（3）若將頻率視為概率，求甲同學在今后的數(shù)學競賽成績高于80的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）求函數(shù)f（x）=
1-log6x
的定義域；
（2）求函數(shù)y=
2x-1
x-1
的值域；
（3）化簡
416x8y4
（x＜0，y＜0）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）對一切實數(shù)x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅲ）對任意的x1∈（0，
1
2
），x2∈（0，
1
2
），都有f（x1）+2＜logax2成立時，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設集合A={x|-2＜x＜3}，B={x|
4
x+3
＞1}．
（1）求集合A∩B；
（2）若不等式2ax2-2bx+3a2b＜0的解集為B，求a，b的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=
p
•
q
，而
p
=（2-4sin2
ωx
2
，1），
q
=（cosωx，
3
sin2ωx）（x∈R）．
（1）若f（
π
3
）最大，求ω能取到的最小正數(shù)值；
（2）對（1）中的ω，若f（x）=（2+
3
）sinx+1且x∈（0，
π
2
），求tan
x
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示是函數(shù)y=2sin（ωx+φ）（|φ|≤
π
2
，ω＞0）的一段圖象，則ω=
 
φ=
 
．

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