Question

6．平面a截半徑為R的球O得到一個半徑為$\frac{{\sqrt{3}R}}{2}$的截面圓O′，三棱錐S-ABC內(nèi)接于球O，且△ABC是圓O′的內(nèi)接正三角形，若O′S=R，則三棱錐S-ABC與球O的體積之比為$\frac{{9\sqrt{3}}}{256π}$．

Answer 1

分析 求出AB，可得三棱錐S-ABC的體積，求出球O的體積，即可求出三棱錐S-ABC與球O的體積之比．

解答 解：由題意，$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{{\sqrt{3}R}}{2}$，∴AB=$\frac{3}{2}$R，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\frac{3}{2}）^{2}$R²=$\frac{9\sqrt{3}}{16}$R²，
∵O′S=R，∴O′到平面ABC的距離為$\frac{R}{4}$，
∴V_S-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{9\sqrt{3}}{16}{R}^{2}×\frac{R}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{64}{R}^{3}$，
∴三棱錐S-ABC與球O的體積之比為$\frac{3\sqrt{3}}{64}{R}^{3}$：$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{{9\sqrt{3}}}{256π}$．
故答案為：$\frac{{9\sqrt{3}}}{256π}$．

點評 本題考查了棱錐與球的關(guān)系，棱錐與球的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．