Question

等差數(shù)列{a_n}，a₁=25，a₆=15，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2b_n-2．（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式利用已知條件求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a_n=-2n+27；由S_n=2b_n-2，推導(dǎo)出數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，從而得到bn=2n．
（2）由

an

bn

=

-2n+27

2n

，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d，
∴d=

a6-a1

6-1

=-2，
∴a_n=25+（n-1）×（-2）=-2n+27，
∵S_n=2b_n-2，∴n=1時(shí)，b₁=2b₁-2，解得b₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2b_n-1，
即b_n=2b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
∴bn=2n．
（2）由（1）知數(shù)列

an

bn

=

-2n+27

2n

，
Tn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

=

25

2

+

23

22

+…+

-2n+27

2n

，①

1

2

Tn=

25

22

+

23

23

+…+

-2n+29

2n

+

-2n+27

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Tn=

25

2

-2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

-2n+27

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

25

2

-(1-

1

2n-1

)-

-2n+27

2n+1

，
∴Tn=23+

2n-23

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．