Question

已知f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），g（x）=2x²-4x-16，且|f（x）|≤|g（x）|對(duì)x∈R恒成立．
（1）求a，b的值；
（2）若對(duì)x＞2，不等式f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由g（x）=0得x=4或x=-2．由題意可得

|f(4)|≤0 |f(-2)|≤0

，由此求得a、b的值．
（2）由題意可得，當(dāng)x＞2時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2x-8的圖象不能在直線(xiàn)y=（m+2）x-m-15的下方，由于f（x）的圖象的頂點(diǎn)為A（1，-9），函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，-8），直線(xiàn)y=（m+2）x-m-15經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，-13），可得m+2≤K_CB，由此求得m的范圍．

解答： 解：（1）由g（x）=0得x=4或x=-2．
 由題意可得

|f(4)|≤0 |f(-2)|≤0

，即

|16+4a+b|≤0 |4-2a+b|≤0

，∴

16+4a+b=0 4-2a+b=0

，∴

a=-2 b=-8

．
此時(shí)，|f（x）|≤|g（x）|?|x²-2x-8|≤2|x²-2x-8|，對(duì)x∈R恒成立，滿(mǎn)足條件．
故a=-2，b=-8．
（2）由題意可得，當(dāng)x＞2時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-2x-8的圖象不能在直線(xiàn)y=（m+2）x-m-15的下方．
由于f（x）的圖象的頂點(diǎn)為A（1，-9），函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，-8），
直線(xiàn)y=（m+2）x-m-15經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，-13），
∴m+2≤K_CB=

-8+13

2-1

=5，求得 m≤3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．