Question

16．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求證：BD₁⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析 通過證明AB₁⊥平面A₁BD₁得出AB₁⊥BD₁，B₁C⊥平面BC₁D₁得出B₁C⊥BD₁，從而BD₁⊥面AB₁C．

解答 證明：∵A₁D₁⊥平面AA₁B₁B，AB₁?平面AA₁B₁B，
∴A₁D₁⊥AB₁，
∵四邊形AA₁B₁B是正方形，
∴AB₁⊥A₁B，又A₁D₁?平面A₁BD₁，A₁B?平面A₁BD₁，A₁D₁∩A₁B=A₁，
∴AB₁⊥平面A₁BD₁，∵BD₁?平面A₁BD₁，
∴AB₁⊥BD₁，
同理可證：B₁C⊥BD₁，
又AB₁?平面AB₁C，B₁C?平面AB₁C，AB₁∩B₁C=B₁，
∴BD₁⊥面AB₁C．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．