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12.已知Fn(x)=(-1)0Cn0f0(x)+(-1)1Cn1fi(x)+…+(-1)nCnnfn(x),(n∈N*)(x>0),其中,fi(x)(i∈{0,1,2,…,n})是關(guān)于x的函數(shù).
(1)若fi(x)=xi(i∈N),求關(guān)于F2(1),F(xiàn)2017(2)的值;
(2)若fi(x)=xx+i(i∈N),求證:Fn(x)=n!x+1x+2x+n(n∈N*).

分析 (1)由fi(x)=xi(i∈N),求出Fn(x)=(1-x)n,由此能求出F2(1)和F2017(2).
(2)由fi(x)=xx+i(i∈N),知Fn(x)=ni=0[1iCinxx+i],(n∈N*),由此利用數(shù)學(xué)歸納法能證明Fn(x)=n!x+1x+2x+n(n∈N*).

解答 解:(1)∵fi(x)=xi(i∈N),
∴Fn(x)=(-1)0Cn0x0+(-1)1Cn1x1+…+(-1)nCnnxn=(1-x)n,
∴F2(1)=(1-1)2=0,
F2017(2)=(1-2)2017=-1.
證明:(2)∵fi(x)=xx+i(i∈N),
∴Fn(x)=(-1)0Cn0f0(x)+(-1)1Cn1fi(x)+…+(-1)nCnnfn(x)=ni=0[1iCinxx+i],(n∈N*),
①當(dāng)n=1時,F(xiàn)n(x)=1i=0[1iCi1xx+i]=1-xx+1=1x+1,∴n=1時,結(jié)論成立;
②假設(shè)n=k時,結(jié)論成立,即Fk(x)=ki=0[1iCikxx+i]=k!x+1x+2x+k,
則當(dāng)n=k+1時,F(xiàn)k+1(x)=k+1i=0[1iCik+1xx+i]
=1+ki=1[1iCik+1xx+i]+(-1)k+1Ck+1k+1xx+k+1
=1+ki=1[1iCik+Ci1kxx+i]+1k+1Ck+1k+1xx+k+1
=ki=0[1iCikxx+i]+k+1i=1[1iCi1kxx+i]
=Fkxk+1i=1[1i1Ci1kxx+i]
=Fkxki=0[1iCikxx+i+1]
=Fkxki=0[1iCikx+1x+1+i]xx+1
=Fkxxx+1Fkx+1
=k!x+1x+2x+k-k!x+2x+3x+1+kxx+1
=x+1+kk!xk!x+1x+2x+kx+1+k
=k+11x+1x+2x+3x+1+k,
∴n=k+1時,結(jié)論也成立.
結(jié)合①②知Fn(x)=n!x+1x+2x+n(n∈N*).

點評 本題考查函數(shù)值的求法,考查函數(shù)解析式的證明,綜合性強,難度大,對數(shù)學(xué)思維能力要求較高,解題時要注意數(shù)學(xué)歸結(jié)法的合理運用.

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2)求S的最小值.

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