分析 (1)由fi(x)=xi(i∈N),求出Fn(x)=(1-x)n,由此能求出F2(1)和F2017(2).
(2)由fi(x)=xx+i(i∈N),知Fn(x)=∑ni=0[(−1)iCinxx+i],(n∈N*),由此利用數(shù)學(xué)歸納法能證明Fn(x)=n!(x+1)(x+2)…(x+n)(n∈N*).
解答 解:(1)∵fi(x)=xi(i∈N),
∴Fn(x)=(-1)0Cn0x0+(-1)1Cn1x1+…+(-1)nCnnxn=(1-x)n,
∴F2(1)=(1-1)2=0,
F2017(2)=(1-2)2017=-1.
證明:(2)∵fi(x)=xx+i(i∈N),
∴Fn(x)=(-1)0Cn0f0(x)+(-1)1Cn1fi(x)+…+(-1)nCnnfn(x)=∑ni=0[(−1)iCinxx+i],(n∈N*),
①當(dāng)n=1時,F(xiàn)n(x)=∑1i=0[(−1)iCi1xx+i]=1-xx+1=1x+1,∴n=1時,結(jié)論成立;
②假設(shè)n=k時,結(jié)論成立,即Fk(x)=∑ki=0[(−1)iCikxx+i]=k!(x+1)(x+2)…(x+k),
則當(dāng)n=k+1時,F(xiàn)k+1(x)=∑k+1i=0[(−1)iCik+1xx+i]
=1+∑ki=1[(−1)iCik+1xx+i]+(-1)k+1Ck+1k+1xx+k+1
=1+∑ki=1[(−1)i(Cik+Ci−1k)xx+i]+(−1)k+1Ck+1k+1xx+k+1
=∑ki=0[(−1)iCikxx+i]+∑k+1i=1[(−1)iCi−1kxx+i]
=Fk(x)−∑k+1i=1[(−1)i−1Ci−1kxx+i]
=Fk(x)−∑ki=0[(−1)iCikxx+i+1]
=Fk(x)−∑ki=0[(−1)iCikx+1x+1+i]xx+1
=Fk(x)−xx+1Fk(x+1)
=k!(x+1)(x+2)…(x+k)-k!(x+2)(x+3)…(x+1+k)•xx+1
=(x+1+k)•k!−xk!(x+1)(x+2)…(x+k)(x+1+k)
=(k+1)1(x+1)(x+2)(x+3)…(x+1+k),
∴n=k+1時,結(jié)論也成立.
結(jié)合①②知Fn(x)=n!(x+1)(x+2)…(x+n)(n∈N*).
點評 本題考查函數(shù)值的求法,考查函數(shù)解析式的證明,綜合性強,難度大,對數(shù)學(xué)思維能力要求較高,解題時要注意數(shù)學(xué)歸結(jié)法的合理運用.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (1,2,0) | B. | (0,0,3) | C. | (1,0,3) | D. | (0,2,3) |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 函數(shù)f(x)的圖象向左平移π個單位長度可得到y(tǒng)=g(x)的函象 | |
B. | 函數(shù)y=f(x)+g(x)的值域為[-2,2] | |
C. | 函數(shù)y=f(x)•g(x)在[{0,\frac{π}{2}}]上單調(diào)遞增 | |
D. | 函數(shù)y=f(x)-g(x)的圖象關(guān)于點({\frac{π}{4},0})對稱 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1 | B. | \sqrt{3} | C. | 2 | D. | \sqrt{2} |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com