已知A,B兩點在拋物線C:x2=4y上,點M(0,4)滿足=λ
.
(1)求證:;
(2)設(shè)拋物線C過A、B兩點的切線交于點N.
(ⅰ)求證:點N在一條定直線上;
(ⅱ)設(shè)4≤λ≤9,求直線MN在x軸上截距的取值范圍.
(1)證明:∵=0,∴
.
(2)(ⅰ)點N(,-4),所以點N在定直線y=-4上. (ⅱ) [-
,-
]∪[
,
].
解析試題分析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
lAB:y=kx+4與x2=4y聯(lián)立得x2-4kx-16=0,
Δ=(-4k)2-4(-16)=16k2+64>0,
x1+x2=4k,x1x2=-16, 2分
(1)證明:∵=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+4)(kx2+4)
=(1+k2)x1x2+4k(x1+x2)+16
=(1+k2)(-16)+4k(4k)+16=0
∴. 4分
(2)(ⅰ)證明:過點A的切線:
y=x1(x-x1)+y1=
x1x-
x12, ①
過點B的切線:y=x2x-
x22, 、 6分
聯(lián)立①②得點N(,-4),所以點N在定直線y=-4上. 8分
(ⅱ)∵=λ
,
∴(x1,y1-4)=λ(-x2,4-y2),
聯(lián)立x1=-λx2,x1+x2=4k,x1x2=-16,
可得k2==λ+
-2,4≤λ≤9, 11分
∴≤k2≤
.
直線MN:y=x+4在x軸上的截距為k.
∴直線MN在x軸上截距的取值范圍是[-,-
]∪[
,
]. 14分
考點:本題考查了向量的運用及直線與拋物線的位置關(guān)系
點評:熟練掌握向量的坐標(biāo)運算,靈活運用直線的特征是解決此類問題的關(guān)鍵,屬?碱}型
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知是橢圓的左、右焦點,O為坐標(biāo)原點,點P
在橢圓上,線段
與y軸的交點M滿足
(Ⅰ) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ) 圓O是以為直徑的圓,直線
:
與圓相切,并與橢圓交于不同的兩點
,當(dāng)
,且滿足
時,求直線
的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)拋物線的焦點為
,經(jīng)過點
的動直線
交拋物線
于點
,
且
.
(1)求拋物線的方程;
(2)若(
為坐標(biāo)原點),且點
在拋物線
上,求直線
傾斜角;
(3)若點是拋物線
的準(zhǔn)線上的一點,直線
的斜率分別為
.求證:
當(dāng)為定值時,
也為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為
,右頂點為
,設(shè)點
.
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若是橢圓上的動點,求線段
中點
的軌跡方程;
(3)過原點的直線交橢圓于點
,求
面積的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓:
的左、右焦點分別為
,已知橢圓
上的任意一點
,滿足
,過
作垂直于橢圓長軸的弦長為3.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過的直線交橢圓于
兩點,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
求滿足下列條件的橢圓方程長軸在軸上,長軸長等于12,離心率等于
;橢圓經(jīng)過點
;橢圓的一個焦點到長軸兩端點的距離分別為10和4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
直角坐標(biāo)平面上,為原點,
為動點,
,
. 過點
作
軸于
,過
作
軸于點
,
. 記點
的軌跡為曲線
,
點、
,過點
作直線
交曲線
于兩個不同的點
、
(點
在
與
之間).
(1)求曲線的方程;
(2)是否存在直線,使得
,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在原點,焦點在
軸上,一條經(jīng)過點
且方向向量為
的直線
交橢圓
于
兩點,交
軸于
點,且
.
(1)求直線的方程;
(2)求橢圓長軸長的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分14分)已知圓的圓心為原點
,且與直線
相切。
(1)求圓的方程;
(2)點在直線
上,過
點引圓
的兩條切線
,切點為
,求證:直線
恒過定點。
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