Question

關(guān)于實數(shù)x的方程x+

1

x

=t-2|log2x|在區(qū)間[

1

2

，2]上有兩個不同的實數(shù)根，則t∈

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，討論x的取值將方程進行等價化簡，然后將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)的圖象即可得到結(jié)論．

解答： 解：當1≤x≤2時，方程等價為x+

1

x

=t-2log2x=t-x，即t=2x+

1

x

，
當

1

2

≤x＜1時，方程等價為x+

1

x

=t-2-log2x=t-2log2

1

x

=t-

1

x

，即t=x+

2

x

，
即t=

2x+ 1 x ，1≤x≤2 x+ 2 x ， 1 2 ＜x＜1

，
設(shè)f（x）=

2x+ 1 x ，1≤x≤2 x+ 2 x ， 1 2 ＜x＜1

．
當1≤x≤2時，函數(shù)f（x）=2x+

1

x

，則f'（x）=2-

1

x2

=

2x2-1

x2

＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增．∴3≤f(x)≤

9

2

．
當

1

2

≤x＜1時，函數(shù)f（x）=x+

2

x

，則f'（x）=1-

2

x2

=

x2-2

x2

＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減．∴3＜f（x）≤

9

2

．
作出函數(shù)f（x）對應(yīng)的圖象如圖：要使t=f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上有兩個不同的實數(shù)根，
則滿足3＜t≤

9

2

，
即t∈（3，

9

2

]，
故答案為：（3，

9

2

]．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的基本運算，將函數(shù)進行等價化簡是解決本題的關(guān)鍵，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想．