Question

14．甲乙丙丁四個物體同時從某一點出發(fā)向同一個方向運動，其路程f_i（x）（i=1，2，3，4）關于時間x（x≥0）的函數(shù)關系式分別為${f_1}（x）={2^x}-1，{f_2}（x）={x^3}，{f_3}（x）=x，{f_4}（x）={log_2}（x+1）$，
有以下結論：
①當x＞1時，甲在最前面；
②當x＞1時，乙在最前面；
③當0＜x＜1時，丁在最前面，當x＞1時，丁在最后面；
④丙不可能在最前面，也不可能最最后面；
⑤如果它們已知運動下去，最終在最前面的是甲．
其中，正確結論的序號為③④⑤（把正確結論的序號都填上，多填或少填均不得分）

Answer 1

分析 分別取特值驗證命題①②；對數(shù)型函數(shù)的變化是先快后慢，當x=1時甲、乙、丙、丁四個物體又重合，從而判斷命題③正確；結合對數(shù)型和指數(shù)型函數(shù)的圖象變化情況，可知命題④正確；指數(shù)函數(shù)變化是先慢后快，當運動的時間足夠長，最前面運動的物體一定是按照指數(shù)型函數(shù)運動的物體，即一定是甲物體．

解答 解：路程f_i（x）（i=1，2，3，4）關于時間x（x≥0）的函數(shù)關系式分別為：
${f_1}（x）={2^x}-1，{f_2}（x）={x^3}，{f_3}（x）=x，{f_4}（x）={log_2}（x+1）$，
它們相應的函數(shù)模型分別是指數(shù)型函數(shù)，冪函數(shù)，一次函數(shù)，和對數(shù)型函數(shù)模型；
①當x=2時，f₁（2）=3，f₂（2）=8，∴該結論不正確；
②∵指數(shù)型的增長速度大于冪函數(shù)的增長速度，∴x＞1時，甲總會超過乙的，∴該結論不正確；
③根據(jù)四種函數(shù)的變化特點，對數(shù)型函數(shù)的變化是先快后慢，當x=1時甲、乙、丙、丁四個物體重合，從而可知當0＜x＜1時，丁走在最前面，當x＞1時，丁走在最后面，∴該結論正確；
④結合對數(shù)型和指數(shù)型函數(shù)的圖象變化情況，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴該結論正確；
⑤指數(shù)函數(shù)變化是先慢后快，當運動的時間足夠長，最前面運動的物體一定是按照指數(shù)型函數(shù)運動的物體，即一定是甲物體，∴該結論正確．
∴正確結論的序號為：③④⑤．
故答案為：③④⑤．

點評 本題考查幾種基本初等函數(shù)的變化趨勢，關鍵是注意到對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長差異，屬于基礎題．