Question

【題目】已知橢圓，點(diǎn)，

中恰有三點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由原點(diǎn)向圓引兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)，若直線的斜率存在，并記為，試問(wèn)的面積是否為定值？若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知橢圓C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn)，則圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，故P2在橢圓上，代入點(diǎn)坐標(biāo)可求出橢圓方程;

（2）由直線OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x與圓M相切，運(yùn)用圓心到直線的距離為半徑，即可得到k1，k2為方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的兩個(gè)不等的實(shí)根，運(yùn)用韋達(dá)定理和點(diǎn)M在橢圓上，滿足橢圓方程，化簡(jiǎn)即可得到k1k2＝﹣，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），表示出△OPQ的面積S＝|x1x2||k1﹣k2|，代值計(jì)算即可求出.

解：（1）由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故由題設(shè)可知C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn)，

∵，

則圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，故P2在橢圓上，

∴b＝，，解得a2＝6，b2＝3，

故橢圓C的方程為.

（2）∵直線OP：y＝k1x，OQ：y＝k2x，與圓M相切，

由直線和圓相切的條件：d＝r，可得，

即有（x02﹣2）k12﹣2x0y0k1+y02﹣2＝0，

同理：直線OQ：y＝k2x與圓M相切，

可得（x02﹣2）k22﹣2x0y0k2+y02﹣2＝0，

即k1，k2為方程（x02﹣2）k2﹣2x0y0k+y02﹣2＝0的兩個(gè)不等的實(shí)根，

可得k1k2＝，

∵點(diǎn)R（x0，y0）在橢圓C上，

∴，

∴k1k2＝＝，

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴|OP|＝|x1|

點(diǎn)Q到直線OP的距離d＝，

∵|x1|＝，|x2|＝，

∴△OPQ的面積S＝|x1x2||k1﹣k2|＝ ，

＝．