【題目】已知左焦點(diǎn)為F(﹣1,0)的橢圓過(guò)點(diǎn)E(1, ).過(guò)點(diǎn)P(1,1)分別作斜率為k1 , k2的橢圓的動(dòng)弦AB,CD,設(shè)M,N分別為線段AB,CD的中點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若P為線段AB的中點(diǎn),求k1;
(3)若k1+k2=1,求證直線MN恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】
(1)解:由題意c=1,且右焦點(diǎn)F′(1,0)

∴2a=EF+EF′= ,b2=a2﹣c2=2

∴所求橢圓方程為


(2)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

①,

②﹣①,可得k1= =﹣ =﹣


(3)證明:由題意,k1≠k2

設(shè)M(xM,yM),直線AB的方程為y﹣1=k1(x﹣1),即y=k1x+k2,

代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得( )x2+6k1k2x+ =0

同理, ,

當(dāng)k1k2≠0時(shí),直線MN的斜率k= =

直線MN的方程為y﹣ = (x﹣

此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)(0,﹣

當(dāng)k1k2=0時(shí),直線MN即為y軸,此時(shí)亦過(guò)點(diǎn)(0,﹣

綜上,直線MN恒過(guò)定點(diǎn),且坐標(biāo)為(0,﹣


【解析】(1)利用橢圓的定義求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)A,B的坐標(biāo),利用點(diǎn)差法確定k1的值;(3)求出直線MN的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系以及k1+k2=1探究直線過(guò)哪個(gè)定點(diǎn).
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能得出正確答案.

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