Question

11．{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=-n+p，{b_n}的通項(xiàng)公式為${b_n}={2^{n-5}}$，設(shè)${c_n}=\left\{\begin{array}{l}{a_n}，{a_n}≤{b_n}\\{b_n}，{a_n}＞{b_n}\end{array}\right.$，若在數(shù)列{c_n}中，c₉＞c_n，n∈N^*，n≠9，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是17＜p＜26．

Answer 1

分析 當(dāng)a_n≤b_n時(shí)，c_n=a_n，當(dāng)a_n＞b_n時(shí)，c_n=b_n，可知：c_n是a_n，b_n中的較小者．因?yàn)閍_n=-n+p，所以{a_n}是遞減數(shù)列；因?yàn)閎_n=2^n-5，所以{b_n}是遞增數(shù)列，因?yàn)閏₉＞c_n（n≠9），所以c₉是c_n的最大者，分類(lèi)討論即可得出．

解答 解：當(dāng)a_n≤b_n時(shí)，c_n=a_n，當(dāng)a_n＞b_n時(shí)，c_n=b_n，∴c_n是a_n，b_n中的較小者，
因?yàn)閍_n=-n+p，所以{a_n}是遞減數(shù)列；因?yàn)閎_n=2^n-5，所以{b_n}是遞增數(shù)列，
因?yàn)閏₉＞c_n（n≠9），所以c₉是c_n的最大者，
則n=1，2，3，…7，8，9時(shí)，c_n遞增，n=9，10，…時(shí)，c_n遞減，
因此，n=1，2，3，…7，8時(shí)，2^n-5＜-n+p總成立，
當(dāng)n=8時(shí)，2^8-5＜-8+p，∴p＞16，
n=9，10，11，…時(shí)，2^n-5＞-n+p總成立，
當(dāng)n=10時(shí)，2^10-5＞-9+p，成立，∴p＜41，
而c₉=a₉或c₉=b₉，
若a₉≤b₉，即2^9-5≥p-9，所以p≤25，
則c₉=a₉=p-9，
∴p-9＞b₈=2^8-5，∴p＞17，
若a₉＞b₉，即p-9＞2^9-5，所以p＞25，
∴c₉=b₉=2⁴=16，
那么c₉＞c₁₀=a₁₀，即16＞p-10，
∴p＜26，
故17＜p＜26．
故答案為：17＜p＜26

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．