Question

20．已知二次函數(shù)f（x）=（m+1）x²-2mx+m-1．
（1）如果函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)左右兩側(cè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）如果函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意利用韋達(dá)定理可得兩個(gè)零點(diǎn)的乘積小于零，從而求得m的范圍．
（2）由條件利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論，求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）對(duì)于二次函數(shù)f（x）=（m+1）x²-2mx+m-1，如果函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)左右兩側(cè)，
則$\left\{\begin{array}{l}{m+1≠0}\\{\frac{m-1}{m+1}＜0}\end{array}\right.$，求得-1＜m＜1．
（2）如果函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上有零點(diǎn)，
當(dāng)m+1=0，求得x=1，不滿足條件．
當(dāng)函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上只有一個(gè)零點(diǎn)，則有$\left\{\begin{array}{l}{m+1＞0}\\{f（-1）=4m＜0}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{m+1＜0}\\{f（-1）=4m＞0}\end{array}\right.$ ②，
或$\left\{\begin{array}{l}{m+1≠0}\\{\frac{m}{m+1}＜0}\\{△={4m}^{2}-4（m+1）（m-1）=0}\end{array}\right.$ ③．
解①求得-1＜m＜0，解②求得m∈∅，解③求得m∈∅．
當(dāng)函數(shù)f（x）在（-∞，-1）有2個(gè)零點(diǎn)，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{m+1}＜0}\\{△={4m}^{2}-4（m+1）（m-1）＞0}\end{array}\right.$，
求得-1＜m＜0．
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．