Question

2．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意實數(shù)對（x₁，y_l）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M為“正交點集”，給出下列集合；
①M={（x，y）|y=$\frac{1}{x}$}；②M={（x，y）|y=-x²+1}；③M={（x，y）|y=cosx}；
④M={（x，y）|y=x-$\frac{1}{x}$）；⑤M={（x，y）||x|+|y|=1}．
則滿足條件的“正交集合”有：②③⑤（寫出所有滿足條件的集合的序號）

Answer 1

分析 ①對于任意實數(shù)對（x₁，y_l）∈M，則x₁y₁=1，因此不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，即可判斷出正誤；
②對于任意實數(shù)對（x₁，y_l）∈M，假設(shè)存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則x₁x₂+$（1-{x}_{1}^{2}）（1-{x}_{2}^{2}）$=0，化為：$（{x}_{1}^{2}-1）{x}_{2}^{2}$+x₁x₂-$（{x}_{1}^{2}-1）$=0，當(dāng)x₁=±1時，（±1，0），則存在（0，1），滿足x₁x₂+y₁y₂=0；當(dāng)x₁≠±1時，△＞0，因此存在（x₂，y₂）∈M，滿足x₁x₂+y₁y₂=0，即可判斷出正誤；
③M={（x，y）|y=cosx}，如圖所示：任取點P，則存在點Q，使得OP⊥OQ，即可判斷出正誤．
④取（1，0），則不存在（x₂，y₂）（x₂≠0）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=x₂=0成立，即可判斷出正誤；
⑤M={（x，y）||x|+|y|=1}，由圖象可知：任取點P，則在圖象上存在點Q，使得OQ⊥OP，即可判斷出正誤．

解答 解：①M={（x，y）|y=$\frac{1}{x}$}，對于任意實數(shù)對（x₁，y_l）∈M，則x₁y₁=1，因此不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，不正確；
②M={（x，y）|y=-x²+1}，對于任意實數(shù)對（x₁，y_l）∈M，假設(shè)存在（x₂，y₂）∈M，
使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則x₁x₂+$（1-{x}_{1}^{2}）（1-{x}_{2}^{2}）$=0，化為：$（{x}_{1}^{2}-1）{x}_{2}^{2}$+x₁x₂-$（{x}_{1}^{2}-1）$=0，當(dāng)x₁=±1時，（±1，0），則存在（0，1），滿足x₁x₂+y₁y₂=0；
當(dāng)x₁≠±1時，△=${x}_{1}^{2}$+4$（{x}_{1}^{2}-1）^{2}$＞0，因此存在（x₂，y₂）∈M，滿足x₁x₂+y₁y₂=0，
∴M是“正交集合”；
③M={（x，y）|y=cosx}，如圖所示：任取點P，則存在點Q，使得OP⊥OQ．
因此對于任意實數(shù)對（x₁，y_l）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，因此集合M是“正交集合”，正確；
④M={（x，y）|y=x-$\frac{1}{x}$），取（1，0），則不存在（x₂，y₂）（x₂≠0）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=x₂=0成立，因此不正確；
⑤M={（x，y）||x|+|y|=1}，由圖象可知：任取點P，則在圖象上存在點Q，使得OQ⊥OP．即對于任意實數(shù)對（x₁，y_l）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，∴集合M是“正交集合”，因此正確．
則滿足條件的“正交集合”有：②③⑤．
故答案為：②③⑤．

點評 本題考查了新定義“正交集合”的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的運算性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．