Question

14．已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x均有f（x）=kf（x+2），其中常數(shù)k為負數(shù)，且f（x）在區(qū)間[0，2]有表達式f（x）=x（x-2）
（I）求出f（-1），f（2.5）的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]的最大值與最小值分別為m，n，且m-n=3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)定義得f（x+2）=$\frac{1}{k}$f（x），求得f（2.5）和f（-1）；
（2）先求出f（x）的解析式f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x∈[0，2]}\\{kx（x+2），x∈[-2，0）}\end{array}\right.$，再求出各分段的值域，得出m，n的值．

解答 解：（1）因為f（x）=kf（x+2），
所以，f（x+2）=$\frac{1}{k}$f（x），因此，
f（2.5）=$\frac{1}{k}$f（0.5）=-$\frac{9}{4k}$，
f（-1）=kf（1）=-k；
（2）根據(jù)題意，當x∈[0，2]，f（x）=x（x-2），
當x∈[-2，0]時，x+2∈[0，2]，
所以f（x）=kf（x+2）=k（x+2）x，其中，k＜0，
因此，x∈[-2，2]時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x∈[0，2]}\\{kx（x+2），x∈[-2，0）}\end{array}\right.$，
當x∈[0，2]，f（x）=（x-1）²-1∈[-1，0]，
當x∈[-2，0]，f（x）=k[（x+1）²-1]∈[0，-k]，
所以，函數(shù)的最大值為m=-k，最小值為n=-1，如右圖，
因為，m-n=3，-k+1=3，
解得k=-2．

點評 本題主要考查了函數(shù)值的求解，分段函數(shù)解析式的確定，以及運用二次函數(shù)的性質確定函數(shù)的值域，屬于中檔題．