Question

17．設(shè)函數(shù)f（x₀）=ae^xlnx+$\frac{b{e}^{x-1}}{x}$，曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線為y=e（x-1）+2．
（Ⅰ）求a，b； 
（Ⅱ）證明：f（x）＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1），求出a，b的值即可；
（Ⅱ）問題等價于$xlnx＞x{e^{-x}}-\frac{2}{e}$，設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，設(shè)函數(shù)$h（x）=x{e^{-x}}-\frac{2}{e}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ） 函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
$f'（x）=a{e^x}lnx+\frac{a}{x}{e^x}-\frac{x^2}{e^{x-1}}+\frac{x}{e^{x-1}}$，
由題意可得f（1）=2，f'（1）=e，
故a=1，b=2…（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，?$f（x）={e^x}lnx+\frac{{2{e^{x-1}}}}{x}$，
從而f（x）＞1等價于$xlnx＞x{e^{-x}}-\frac{2}{e}$，
設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，則g'（x）=1+lnx，
所以當(dāng)$x∈（{0，\frac{1}{e}}）$時，g'（x）＜0，
當(dāng)$x∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$時，g'（x）＞0，
故g（x）在$（{0，\frac{1}{e}}）$單調(diào)遞減，在$（{\frac{1}{e}，+∞}）$單調(diào)遞增，
從而g（x）在（0，+∞）的最小值為$g（\frac{1}{e}）=-\frac{1}{e}$．…（8分）
設(shè)函數(shù)$h（x）=x{e^{-x}}-\frac{2}{e}$，則h'（x）=e^-x（1-x），
所以當(dāng)x∈（0，1）時，h'（x）＞0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，h'（x）＜0，
故h（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
從而h（x）在（0，+∞）的最大值為$h（1）=-\frac{1}{e}$．
綜上：當(dāng)x＞0時，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．