【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),已知在上存在兩個極值點(diǎn),,且,求證:(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)將問題轉(zhuǎn)化為在上有解的問題,令,利用導(dǎo)數(shù)可求得,進(jìn)而求得的取值范圍;
(2)要證,只需證,根據(jù)有兩個極值點(diǎn)可得到,設(shè),則只需證,令,利用導(dǎo)數(shù)可求得,進(jìn)而證得結(jié)論.
(1)函數(shù)與的圖像上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn),
的圖像與函數(shù)的圖像有交點(diǎn),
即在上有解,即在上有解,
設(shè),則,
當(dāng)時,為減函數(shù);當(dāng)時,為增函數(shù),
,,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
(2),.
在上存在兩個極值點(diǎn),且,
,則且,
,即,
設(shè),則,
要證,即證,
只需證,即證,
設(shè),
則,
在上單調(diào)遞增,,即,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:的焦距為2,且經(jīng)過點(diǎn),過左焦點(diǎn)且不與軸重合的直線與橢圓交于點(diǎn),兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線,,的斜率之和為0,求直線的方程;
(3)設(shè)弦的垂直平分線分別與直線,橢圓的右準(zhǔn)線交于點(diǎn),,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,,則下列選項(xiàng)中的條件使得僅有一個零點(diǎn)的有( )
A.為奇函數(shù)B.
C.,D.,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綠水青山就是金山銀山.某山村為做好水土保持,退耕還林,在本村的山坡上種植水果,并推出山村游等旅游項(xiàng)目.為預(yù)估今年7月份游客購買水果的情況,隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)了去年7月份100名游客的購買金額.分組如下:,, ,得到如圖所示的頻率分布直方圖:
(1)請用抽樣的數(shù)據(jù)估計(jì)今年7月份游客人均購買水果的金額(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表).
(2)若把去年7月份購買水果不低于80元的游客,稱為“水果達(dá)人”. 填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為“水果達(dá)人”與性別有關(guān)系?
水果達(dá)人 | 非水果達(dá)人 | 合計(jì) | |
男 | 10 | ||
女 | 30 | ||
合計(jì) |
(3)為吸引顧客,商家特推出兩種促銷方案.方案一:每滿80元可立減10元;方案二:金額超過80元可抽獎三次,每次中獎的概率為,且每次抽獎互不影響,中獎1次打9折,中獎2次打8折,中獎3次打7折.若每斤水果10元,你打算購買12斤水果,請從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.
附:參考公式和數(shù)據(jù):,.臨界值表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),AQI指數(shù)值越小,表明空氣質(zhì)量越好,其對應(yīng)關(guān)系如下表:
AQI指數(shù)值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
下圖是某市10月1日—20日AQI指數(shù)變化趨勢:
下列敘述錯誤的是
A. 這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略高于100
B. 這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占
C. 該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好
D. 總體來說,該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】母線長為,底面半徑為的圓錐內(nèi)有一球,與圓錐的側(cè)面、底面都相切,現(xiàn)放入一些小球,小球與圓錐底面、側(cè)面、球都相切,這樣的小球最多可放入__________個.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了了解高一年級學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的狀態(tài),從期中考試成績中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,按成績分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)由頻率分布直方圖,估計(jì)這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)和平均數(shù)(保留到0.01);
(2)該校高一年級共有1000名學(xué)生,若本次考試成績90分以上(含90分)為“優(yōu)秀”等次,則根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績達(dá)到“優(yōu)秀”等次的人數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=asinθ(a≠0).
(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程;
(2)設(shè)直線l截圓C的弦長是半徑長的倍,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),已知在有且僅有3個零點(diǎn),下列結(jié)論正確的是( )
A.在上存在,,滿足
B.在有且僅有1個最小值點(diǎn)
C.在單調(diào)遞增
D.的取值范圍是
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