Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓：的焦距為2，且經過點，過左焦點且不與軸重合的直線與橢圓交于點，兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線，，的斜率之和為0，求直線的方程；

（3）設弦的垂直平分線分別與直線，橢圓的右準線交于點，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)已知求出的值，即得橢圓的的方程；（2）設直線：，，聯(lián)立直線和橢圓的方程得到韋達定理，根據(jù)直線，，的斜率之和為0，求出，即得直線的方程；（3）直線的斜率不存在時，；直線的斜率存在時，求出.即得解.

（1）因為橢圓的焦距為2，所以橢圓的焦點為，

所以點到焦點，的距離分別為，，

故，得．

所以，橢圓的方程為．

（2）依題意，左焦點，設直線：，，，．

聯(lián)立方程組整理得，

所以，．

因為直線，，的斜率之和為0，所以，

即，整理得，

即，解得．

所以直線的方程為．

（3）若直線的斜率不存在，；

若直線的斜率存在，由（2）可得

，

又，直線的斜率為，，

所以．

故，

令，則，

故

當時，，，

所以．

顯然，，

所以的最小值為2．