Question

8．已知橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線與x軸所成的夾角為30°，且雙曲線的焦距為4$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過右焦點F的直線l，交橢圓于A、B兩點，記△AOF的面積為S₁，△BOF的面積為S₂，當(dāng)S₁=2S₂時，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線的漸近線方程及斜率公式，即可求得a²=3b²，c=2$\sqrt{2}$，即a²+b²=8，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及y₁=-2y₂，即可求得t的值，分別求得y₁y₂，x₁x₂，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，即可求得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值．

解答 解：（1）由一條漸近線與x軸所成的夾角為30°，則$\frac{a}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即a²=3b²，
由2c=4$\sqrt{2}$．c=2$\sqrt{2}$，則a²+b²=8，
解得：a²=8，b²=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由（1）可知：F（2，0），直線AB的方程：x=ty+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（t²+3）y²+4ty-2=0，
y₁+y₂=-$\frac{4t}{{t}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{2}{{t}^{2}+3}$，
由S₁=2S₂時，則y₁=-2y₂時，解得：t²=$\frac{1}{5}$，
將t²=$\frac{1}{5}$，代入y₁y₂=-$\frac{5}{8}$，
x₁x₂=（ty₁+2）（ty₂+2）=t²y₁y₂+2t（y₁+y₂）+4，
=$\frac{27}{8}$，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{27}{8}$-$\frac{5}{8}$=$\frac{11}{4}$，得：
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{11}{4}$．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查計算能力，屬于中檔題．