Question

20．已知函數(shù)f（x）=-lnx+x²-x+m（m∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的零點的個數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)m=0時，令函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{a-2}{2}{x^2}$+x，a∈R，求函數(shù)y=g（x）在x∈[1，e]上的值域，其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)求出原函數(shù)的最小值為m，且當(dāng)x→0+時，f（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時，f（x）→+∞．可對m分類討論得到函數(shù)y=f（x）的零點個數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)m=0時，$g（x）=f（x）+\frac{a-2}{2}{x^2}+x=-lnx+\frac{a}{2}{x^2}$，求出導(dǎo)函數(shù)，可得當(dāng)a≤0時，g'（x）＜0，g（x）在x∈[1，e]上單調(diào)遞減，由單調(diào)性求得值域；當(dāng)a＞0時，$g'（x）=\frac{{a{x^2}-1}}{x}=\frac{{a（x-\sqrt{\frac{1}{a}}）（x+\sqrt{\frac{1}{a}}）}}{x}$，然后對a分類討論求得函數(shù)值域．

解答 解：（Ⅰ）由已知x＞0，$f'（x）=-\frac{1}{x}+2x-1=\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$．
令f'（x）=0，解得x=1或$x=-\frac{1}{2}$（舍去）．
當(dāng)x∈（0，1）時，f'（x）＜0，則y=f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，則y=f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴x=1是y=f（x）的極小值點，y=f（x）的最小值為f（1）=m．
∵當(dāng)x→0+時，f（x）→+∞，當(dāng)x→+∞時，f（x）→+∞．
∴當(dāng)m＞0時，則函數(shù)y=f（x）沒有零點．
當(dāng)m=0時，則函數(shù)y=f（x）有一個零點．
當(dāng)m＜0時，則函數(shù)y=f（x）有兩個零點；
（Ⅱ）當(dāng)m=0時，$g（x）=f（x）+\frac{a-2}{2}{x^2}+x=-lnx+\frac{a}{2}{x^2}$，
則$g'（x）=-\frac{1}{x}+ax=\frac{{a{x^2}-1}}{x}$．
①當(dāng)a≤0時，g'（x）＜0，則g（x）在x∈[1，e]上單調(diào)遞減，
$g{（x）_{max}}=g（1）=\frac{a}{2}$，$g{（x）_{min}}=g（e）=\frac{e^2}{2}a-1$，
∴g（x）的值域為$[\frac{e^2}{2}a-1，\frac{a}{2}]$；
②當(dāng)a＞0時，$g'（x）=\frac{{a{x^2}-1}}{x}=\frac{{a（x-\sqrt{\frac{1}{a}}）（x+\sqrt{\frac{1}{a}}）}}{x}$，
（ⅰ）當(dāng)$\sqrt{\frac{1}{a}}≤1$，即a≥1時，g'（x）≥0，g（x）在x∈[1，e]上單調(diào)遞增，
∴g（x）的值域為$[\frac{a}{2}，\frac{e^2}{2}a-1]$；
（ⅱ）當(dāng)$1＜\sqrt{\frac{1}{a}}＜e$，即$\frac{1}{e^2}＜a＜1$時，若$x∈[1，\sqrt{\frac{1}{a}}）$，g'（x）＜0，若$x∈（\sqrt{\frac{1}{a}}，e]$，g'（x）＞0，
∴g（x）在$x∈[1，\sqrt{\frac{1}{a}}）$上單調(diào)遞減，在$x∈（\sqrt{\frac{1}{a}}，e]$上單調(diào)遞增．
∴g（x）的最小值為$g（\sqrt{\frac{1}{a}}）=\frac{1}{2}lna+\frac{1}{2}$；g（x）的最大值為g（1）與g（e）中最大的一個．
∵$g（e）-g（1）=\frac{e^2}{2}a-1-\frac{a}{2}=\frac{{{e^2}-1}}{2}a-1=\frac{{{e^2}-1}}{2}（a-\frac{2}{{{e^2}-1}}）$，
由$\frac{2}{{{e^2}-1}}＜1$，$\frac{2}{{{e^2}-1}}-\frac{1}{e^2}=\frac{{{e^2}+1}}{{（{e^2}-1）{e^2}}}＞0$，知$\frac{2}{{{e^2}-1}}＞\frac{1}{e^2}$，
∴當(dāng)$a=\frac{2}{{{e^2}-1}}$時，g（x）的值域為$[\frac{1}{2}lna+\frac{1}{2}，\frac{a}{2}]$；
當(dāng)$\frac{2}{{{e^2}-1}}＜a＜1$時，g（x）的值域為$[\frac{1}{2}lna+\frac{1}{2}，\frac{e^2}{2}a-1]$；
當(dāng)$\frac{1}{e^2}＜a＜\frac{2}{{{e^2}-1}}$時，g（x）的值域為$[\frac{1}{2}lna+\frac{1}{2}，\frac{a}{2}]$；
（ⅲ）當(dāng)$\sqrt{\frac{1}{a}}≥e$，即$0＜a≤\frac{1}{e^2}$時，g'（x）≤0，g（x）在x∈[1，e]上單調(diào)遞減，
∴g（x）的值域為$[\frac{e^2}{2}a-1，\frac{a}{2}]$．
綜上所述，當(dāng)$a≤\frac{1}{e^2}$時，函數(shù)g（x）的值域為$[\frac{e^2}{2}a-1，\frac{a}{2}]$；
當(dāng)$\frac{1}{e^2}＜a≤\frac{2}{{{e^2}-1}}$時，函數(shù)g（x）的值域為$[\frac{1}{2}lna+\frac{1}{2}，\frac{a}{2}]$；
當(dāng)$\frac{2}{{{e^2}-1}}＜a＜1$時，函數(shù)g（x）的值域為$[\frac{1}{2}lna+\frac{1}{2}，\frac{e^2}{2}a-1]$；
當(dāng)a≥1時，函數(shù)g（x）的值域為$[\frac{a}{2}，\frac{e^2}{2}a-1]$．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬難題．